Harmonické číslo

Harmonické číslo je pojem z oboru teorie čísel. Za harmonická čísla jsou označována čísla, která odpovídají částečným součtům harmonické řady, tedy n-té harmonické číslo odpovídá součtu převrácených hodnot prvních n přirozených čísel:

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}}$.

Vlastnosti

• N-té harmonické číslo je převrácenou hodnotu harmonického průměru prvních n přirozených čísel vynásobenou n.
• Platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }$ kde ${\displaystyle \gamma }$ je Eulerova konstanta.

Vytvořující funkce

• Vytvořující funkcí posloupnosti harmonických čísel je funkce:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}}}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Harmonické číslo na slovenské Wikipedii.

Literatura

• KNUTH, Donald E. Umění programování 1. díl – Základní algoritmy. Brno: Computer Press, 2008. ISBN 978-80-251-2025-5. Kapitola 1.2.7 Harmonická čísla, s. 74–79. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu harmonické číslo na Wikimedia Commons
• Posloupnost A128670 v Online Encyklopedii celočíselných posloupností (OEIS, anglicky)