Heineho věta

Heineho věta je jedno z úvodních tvrzení matematické analýzy, která dává do souvislosti limitu funkce a limitu posloupnosti. Jednoduše řečeno říká, že funkce je spojitá právě když zachovává limity.

Nechť ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ jsou metrické prostory (např. reálná čísla ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, komplexní čísla ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, …), a nechť ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ je zobrazení mezi nimi. Pak ${\displaystyle l\in Y}$ je limita ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x_{0}\in X}$ neboli

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l}$

právě když pro každou posloupnost ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ takovou, že ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$ a zároveň ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$, platí ${\displaystyle f(x_{n})\to l}$.

Ekvivalentně lze také formulovat tzv. Heineho větu o spojitosti:

Nechť ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ je zobrazení mezi metrickými prostory ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$. Pak ${\displaystyle f}$ je spojitá v bodě ${\displaystyle x_{0}\in X}$ právě když pro každou posloupnost ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ takovou, že ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$, platí ${\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{0})}$.

• Limita
• Funkce
• Posloupnost
• Spojitá funkce

• V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984