Hermitovská matice

Hermitovská matice, též samosdružená matice, hermitovsky souměrná matice je v lineární algebře taková čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel, ve které jsou všechny dvojice prvků ${\displaystyle a_{ij}}$, ${\displaystyle a_{ji}}$ komplexně sdružené, tedy

${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,.}$

Totéž lze vyjádřit podmínkou, že matice je rovna své hermitovské transpozici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$, nebo také tak, že pro danou matici je komplexně sdružená matice rovna matici transponované ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$

Ukázky

• Matice

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2+\mathrm {i} \\2-\mathrm {i} &1\end{pmatrix}},}$ kde ${\displaystyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}}$ je imaginární jednotka, je hermitovská.

• Pauliho matice:

  ${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

  jsou hermitovské.

Vlastnosti

• Reálná část hermitovské matice je symetrická, tj. ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{jk})=\mathrm {Re} (a_{kj})\,,}$ zatímco imaginární část je antisymetrická, tj. ${\displaystyle \mathrm {Im} (a_{jk})=-\mathrm {Im} (a_{kj})\,.}$
• Na diagonále má hermitovská matice reálná čísla.
• Reálné hermitovské matice jsou symetrické.
• Inverzní matice k regulární hermitovské matici je také hermitovská.
• Hermitovské matice jsou diagonalizovatelné pomocí unitární matice a výsledná diagonální matice je reálná.
• Determinant hermitovské matice je reálné číslo.
• Hermitovské matice jsou normální, tj. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$
• Součet hermitovských matic je hermitovský.
• Součin dvou hermitovských matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je hermitovský, právě když ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}}$.
• Jestliže ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ jsou hermitovské, pak součin ${\displaystyle {\boldsymbol {ABA}}}$ je také hermitovský.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hermitesche Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.