Matice hemitovsky sdružená [1] ke komplexní matici typu je matice typu získaná transpozicí a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se [1], [2] nebo , a ve fyzice často . Nazývá se také hemitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.
Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí .
Definice
Hermitovská transpozice matice typu je formálně definována pro a , kde pruh značí komplexně sdružené číslo.
Tuto definici lze také napsat jako , kde označuje transpozici a označuje matici s komplexně sdruženými prvky.
Hermitovská transpozice matice může být značena některým z těchto symbolů:
- , běžně používaný v lineární algebře
- , běžně používaný v lineární algebře
- , běžně používané v kvantové mechanice
- , ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi
Někdy označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.
Ukázka
Hermitovskou transpozice následující matice lze získat ve dvou krocích.
Nejprve je matice transponována:
- ,
a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:
- .
Poznámky
Čtvercová matice se nazývá
- Hermitovská nebo samosdružená pokud .
- Normální, pokud .
- Unitární pokud , ekvivalentně .
I když není čtvercová, obě matice a jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.
Hermitovsky "sdružená" transpozice se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí z lineární algebry.
Hermitovská transpozice matice se reálnými prvky redukuje na transpozici , protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.
Motivace
Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu , s obvyklým sčítáním a násobením matic:
Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor ), ovlivněné komplexním - násobením na .
Každou komplexní matici typu pak lze reprezentovat reálnou maticí . Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.
Vlastnosti hermitovské transpozice
Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.
- .
- pro libovolné komplexní číslo .
- .
- , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
- Je-li čtvercová matice, pak , kde označuje determinant matice .
- Je-li čtvercová matice, pak , kde označuje stopu matice .
- je regulární právě když je regulární a v tom případě .
- Vlastní čísla jsou komplexně sdružená k vlastním číslům .
- pro jakoukoli matici typu , libovolný vektor a libovolný vektor . Zde, označuje standardní skalární součin na , a podobně pro .
Zobecnění
Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru na pak matice odpovídá sdruženému operátoru k . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.
Existuje další zobecnění: předpokládejme, že je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru do , pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici jako komplexní sdružení transpozice . Toto zobrazuje sdružený duál na sdružený duál .
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Conjugate transpose na anglické Wikipedii.
- ↑ a b ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
- ↑ WEISSTEIN, Eric W. MathWorld--A Wolfram Web Resource [online]. [cit. 2023-02-28]. Kapitola "Conjugate Transpose.". Dostupné online. (anglicky)
Literatura
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
Související články