Hermitovský operátor

Hermitovský operátor, též samoadjungovaný operátor nebo samosdružený operátor je v matematice označení pro takový omezený operátor na Hilbertově prostoru, který je roven své adjunkci, tzn. takový operátor ${\displaystyle T}$, který splňuje ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }$ pro všechna ${\displaystyle x,y}$ pro která je definován, kde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ značí skalární součin.

Vlastnosti

Hermitovský operátor bývá na prostoru operátorů považován za jakési zobecnění reálného čísla, platí následující vlastnosti:

• ${\displaystyle T}$ je hermitovský právě když: ${\displaystyle \langle Tx,x\rangle \in \mathbb {R} }$
• Vlastní čísla hermitovského operátoru jsou reálná.
• Na prostoru konečné dimenze je reprezentován hermitovskou maticí.
• Hermitovský operátor komutuje se svou adjunkcí (tzn. dle definice sám se sebou, což je zřejmé), je tedy takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální.

Využití

Hermitovské operátory mají velké uplatnění v kvantové fyzice, kde se jimi reprezentují pozorovatelné veličiny, jejich vlastní čísla odpovídají možným hodnotám měření a proto je přirozený požadavek, aby byla reálná, což splňují právě hermitovské operátory.

Související články

• Operátor#Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor
• Pozitivní operátor