Hilbertův prostor

Hilbertovým prostorem je v matematice a fyzice označován vektorový prostor, v kterém je možné měřit úhly a velikosti vektorů a konstruovat ortogonální projekce vektorů na podprostory.

Úvod a motivace zavedení

V Eukleidovských prostorech známých z geometrie je možné měřit úhly a vzdálenosti. V algebře se tím rozumí, že Eukleidovský prostor dimenze ${\displaystyle n}$ můžeme reprezentovat jako vektorový prostor s danou dimenzí a skalárním součinem. Matematici se zabývali otázkou, zda je možné smysluplně definovat velikost úhlu, resp. vzdálenost i mezi prvky vektorových prostorů nekonečné dimenze, jako například různé prostory posloupností nebo funkcí, které již nemají přirozenou geometrickou interpretaci. Snahy o takové definice vykrystalizovaly v zavedení pojmu Hilbertova prostoru, který zobecňuje pojem Eukleidovského prostoru i na nekonečnou dimenzi. Dnes jsou Hilbertovy prostory jedním ze základních objektů studia funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány na počest matematika Davida Hilberta, který byl jedním z průkopníků jejich teorie.

Exaktní definice

Hilbertovým prostorem se rozumí unitární Banachův prostor, jinak řečeno: úplný vektorový prostor se skalárním součinem.

• Úplností se rozumí fakt, že každá Cauchyovská posloupnost má v tomto prostoru limitu.
• Unitární znamená, že je na něm definovaný skalární součin, který indukuje normu a metriku. Skalární součin v tomto článku značíme ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$.
• V některých případech se požaduje ještě, aby byl prostor separabilní. Separabilitou se rozumí to, že metrický prostor obsahuje spočetnou hustou podmnožinu.

Příklady

• Libovolný vektorový prostor se skalárním součinem konečné dimenze.
• ${\displaystyle \ell ^{2}}$: Prostor posloupností ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ komplexních čísel splňujících ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}<\infty }$ se skalárním součinem: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}{\overline {y_{i}}}}$.
• ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$: Prostor Lebesgueovsky měřitelných funkcí z ${\displaystyle (a,b)\rightarrow \mathbb {C} }$ splňujících ${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$ se skalárním součinem: ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x}$.

Vlastnosti

Ortonormální báze

S pojmem Hilbertova prostoru úzce souvisí pojem ortonormální báze. Ortonormální bází Hilbertova prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ rozumíme takovou množinu ${\displaystyle A}$, která splňuje:

1. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0\ \forall x,y\in A,x\neq y}$. To znamená, že všechny prvky báze jsou navzájem kolmé (ortogonální).
2. ${\displaystyle \|x\|=1\ \forall x\in A}$. Tedy, prvky báze mají jednotkovou velikost (jsou normální).
3. Lineární obal báze je hustý podprostor ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Zjednodušeně řečeno, každý prvek ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ můžeme libovolně přesně aproximovat lineární kombinací nějakých prvků báze. Formálně tuto skutečnost zapíšeme jako ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} A}}={\mathcal {H}}}$, kde ${\displaystyle \operatorname {Span} }$ značí lineární obal a pruh nahoře uzávěr.

Povšimněte si, že z 3. podmínky nutně nevyplývá, že by každý prvek musel být vyjádřitelný jako lineární kombinace prvků ortonormální báze. Pojem ortonormální báze tedy není totéž, co lineární báze. V prostoru konečné dimenze je každá ortonormální báze zároveň bází lineární, ale v nekonečné dimenzi nikoliv.

Hilbertovy prostory mají důležité následující vlastnosti:

• Každý Hilbertův prostor má ortonormální bázi.
• Každá ortonormální množina (tj. množina splňující pouze podmínky 1. a 2.) v Hilbertově prostoru je součástí nějaké ortonormální báze.
• Každá ortonormální báze v separabilním Hilbertově prostoru je spočetná.

Dimenzí Hilbertova prostoru rozumíme mohutnost ortonormální báze. Libovolné dva Hilbertovy prostory se stejnou dimenzí jsou izomorfní, důležitým důsledkem je, že každý separabilní Hilbertův prostor je izomorfní s ${\displaystyle \ell ^{2}}$.

Ortogonální rozklady

Projekční věta

Uzavřeným prostorem, nazveme takový podprostor, pro který platí ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}}$. Kolmý podprostor ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\bot }}$ definujeme takto: ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\bot }=\{y\in {\mathcal {H}}:y\bot {\mathcal {M}}\}}$. Značením ${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{1}\oplus {\mathcal {V}}_{2}}$ rozumíme, že:

• ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}\bot {\mathcal {V}}_{2}}$, tzn: ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0\ \forall v_{1}\in {\mathcal {V}}_{1},v_{2}\in {\mathcal {V}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\operatorname {Span} ({\mathcal {V}}_{1}\cup {\mathcal {V}}_{2})}$

Platí, že je-li ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ uzavřený podprostor Hilbertova prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, pak ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {M}}\oplus {\mathcal {M}}^{\bot }}$.

Hilbertův prostor je tedy možné rozložit na vzájemně kolmé podprostory.

Ortogonální projekce

Pro libovolný podprostor ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {H}}}$ existuje lineární operátor ${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$, který každému prvku ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ přiřadí jeho nejlepší aproximaci z ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, tzn: ${\displaystyle \|x-Px\|=\inf {\{\|x-m\|:m\in {\mathcal {M}}\}}}$.

Má-li ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ konečnou ortonormální bázi ${\displaystyle \{e_{1},...,e_{n}\}}$, pak lze projekci stanovit takto: ${\displaystyle Px=\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}}$.

V praxi má ortogonální projekce velké využití v kvantové mechanice a v aproximačních úlohách.

Využití

Teorie Hilbertových prostorů se používá v kvantové mechanice, kde se stavy fyzikálního systému popisují pomocí prvků nějakého Hilbertova prostoru. Často se předpokládá, že daný Hilbertův prostor je navíc reprezentace nějaké grupy (obvykle grupy Lorentzových transformací). S termínem Hilbertův prostor se dále setkáte u jádrové transformace u metody support vector machines populární v strojovém učení.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Hilbertův prostor na Wikimedia Commons