Hilbertova věta o nulách

Hilbertova věta o nulách (bývá používán i německý termín Nullstellensatz) je jedno ze základních tvrzení algebraické geometrie. Dává do souvislosti ideály a afinní algebraické variety. Jmenuje se po Davidu Hilbertovi, který ji dokázal, stejně jako Hilbertovou větu o bázi.

Znění věty

Nechť T je algebraicky uzavřené těleso a je dán okruh mnohočlenů T[X₁,X₂,..., X_n] a ideál I tohoto okruhu. Afinní varieta V(I) daná tímto ideálem je tvořena všemi n-ticemi x = (x₁,...,x_n) z Tⁿ takovými, že f(x) = 0 pro všechna f z I. V takové situaci Hilbertova věta o nulách říká, že pokud nějaký mnohočlen p z T[X₁,X₂,..., X_n] nabývá pro všechny n-tice z V(I) hodnoty nula, neboli p(x) = 0 pro všechna x z V(I), pak existuje přirozené číslo r takové, že p^r leží v I.

Slabší variantou je tvrzení, že každý vlastní ideál I z T[X₁,X₂,..., X_n] má neprázdnou varietu V(I). Stále je zde ovšem předpoklad algebraicky uzavřeného tělesa — například pro prvky vlastního ideálu (X² + 1) z okruhu R[X] žádný společný kořen neexistuje.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hilbert's Nullstellensatz na anglické Wikipedii.