Hodnost matice

V lineární algebře je hodností matice ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$ dimenze vektorového prostoru generovaného sloupci ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$. Jinými slovy, hodnost matice je rovna maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. Lze ukázat, že hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími řádky, čili maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků.

Hodnost je v podstatě mírou „nedegenerovanosti“ soustavy lineárních rovnic případně lineárního zobrazení zakódovaných pomocí ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$. Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik.

Hodnost se běžně označuje jako ${\textstyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})}$^[1], v české literatuře i ${\textstyle h({\boldsymbol {A}})}$^[2]. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: ${\textstyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}}$.

Ukázky

Matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}}}$

má hodnost 2: první dva sloupce jsou lineárně nezávislé, takže hodnost je alespoň 2, ale protože třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), všechny tři sloupce jsou lineárně závislé, takže hodnost musí být menší než 3. Matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}}}$

má hodnost 1: obsahuje nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá.

Podobně její transponovaná matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}}}$

má také hodnost 1. Protože sloupcové vektory ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou řádkové vektory transponované matice ${\textstyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ je ve skutečnosti tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. ${\textstyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })}$.

Výpočet hodnosti matice

Hodnost z řádkově odstupňovaného tvaru

Běžným přístupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově odstupňovaný tvar, pomocí elementárních řádkových operací. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor (proto nemění jeho dimenzi) a jsou invertibilní. Také zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor (nemění proto dimenzi sloupcového prostoru). Jakmile má matice odstupňovaný tvar, je dimenze zřejmě totožná pro řádkový i sloupcový prostor. Hodnost je pak rovna počtu pivotů, resp. počtu nenulových řádků.

Například matici

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}}}$

lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{pmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{pmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{pmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

Výsledná matice (řádkově odstupňovaném tvaru) má dva nenulové řádky, takže hodnost výsledné matice i původní matice ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$ je 2.

Numerické záležitosti

Při použití na výpočty s plovoucí desetinnou čárkou na počítačích může být základní Gaussova eliminace (LU rozklad) nespolehlivá. Účinnou alternativou je singulární rozklad (SVD), ale existují i ​​jiné snadnější možnosti, jako je QR rozklad s pivotováním, který jsou stále numericky robustnější než Gaussova eliminace. Numerický výpočet hodnosti vyžaduje kritérium pro rozhodnutí, kdy by se s hodnotou, jako je singulární hodnota z SVD, mělo zacházet jako s nulou, což je volba, která závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Vlastnosti

• Pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ platí ${\textstyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}\leq \min\{m,n\}}$, kde ${\displaystyle \min\{m,n\}\,}$představuje nejmenší hodnotu z množiny ${\displaystyle \{m,n\}\,}$. Jinými slovy, hodnost matice typu ${\displaystyle m\times n}$ je menší nebo rovna než je menší z jejich rozměrů ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$.
• Pro transponovanou matici platí ${\textstyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}}$, čili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.
• Součinem matic se hodnost nezvýší: ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {AB}})\leq \min\{\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}},\operatorname {rank} {\boldsymbol {B}}\}}$. Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je regulární.

Použití

Hodnosti matice využívá např. Frobeniova věta.

Terminologie

Pokud je hodnost čtvercové matice menší než její rozměr, mluvíme o matici singulární (její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule), v opačném případě o matici regulární (její řádky jsou lineárně nezávislé a matice má nenulový determinant).

Regulární matice jsou speciálním případem matic, které mají má plnou hodnost. To jsou takové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$, pro něž platí ${\textstyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}=\min\{m,n\}}$.^[3]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rank (linear algebra) na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Matice
• Dimenze vektorového prostoru
• Lineární závislost