Homeomorfismus

Homeomorfismus (z řeckého homeos = stejný, morphe = tvar) je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti. Homeomorfismus je tedy jiný název pro izomorfismus topologických prostorů. Dva prostory, mezi kterými je homeomorfismus se nazývají homeomorfní. Z pohledu topologie jsou stejné (mají stejné vlastnosti).

Definice

Zobrazení ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ se nazývá homeomorfismus, pokud

1. je bijektivní
2. je spojité
3. Inverzní zobrazení ${\displaystyle f^{-1}:Y\rightarrow X}$ je spojité.

Pokud existuje homeomorfismus ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle Y}$, jsou prostory ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ homeomorfní. Homeomorfismy jsou ekvivalence na třídách topologických prostorů.

Příklady

• Identické zobrazení na topologickém prostoru je vždy spojité a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé seznamy otevřených množin). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a diskrétní topologii (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T₁) do (A, T₂) je homeomorfismem, právě když T₁ = T₂, tedy pokud T₁ a T₂ označují tutéž topologickou strukturu.

• Otevřený interval (-1, 1) je homeomorfní množině reálných čísel, příkladem je homeomorfismus ${\displaystyle x\rightarrow \operatorname {tg} \ \pi x/2}$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu homeomorfismus na Wikimedia Commons