Hranice množiny

Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře)

Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.

Formální definice v topologii

Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum):

  • Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°.
  • Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M).
  • Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.

Příklady

  • Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra.
  • Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.

Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:

Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem[pozn 1].

Reference

  • John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
  • James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988

Poznámky

  1. Budeme postupovat podle první definice. Pro hustou množinu platí, že její uzávěr je celé univerzum. A neboť vnitřkem je prázdná množina, tak hranicí je celé univerzum.
  2. Stačí si uvědomit, že ani jeden z hraničních bodů tohoto intervalu neleží v množině racionálních čísel.

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Runge theorem.svg

Illustration of en:Runge's theorem. Can be viewed as an example of a connected set that is not simply connected. This image also illustrates a topological boundary.

Converted Image:Runge thm illustration2.png (also by myself) to svg.