Hranice množiny

Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře)

Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.

Formální definice v topologii

Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum):

• Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°.
• Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M).
• Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.

Příklady

• Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra.
• Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.

Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}\,\!}$
• ${\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} \cap [0,1]=[0,1]}$

Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem^{[pozn 1]}.

• V množině racionálních čísel s topologií otevřených intervalů, hranice množiny ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap (-\infty ,a)}$, kde a je iracionální, je prázdná množina^{[pozn 2]}.

Reference

• John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
• James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988

Poznámky

Související články

• Topologie
• Metrický prostor
• Vnitřek množiny
• Otevřená množina
• Uzavřená množina

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hranice množiny na Wikimedia Commons