Hustota elektrického proudu

Hustota elektrického proudu neboli proudová hustota je vektorová fyzikální veličina (má směr a velikost), popisující lokální rozložení elektrického proudu protékajícího uzavřenou plochou. Její směr je stejný jako směr pohybu kladného elektrického náboje (v izotropním prostředí je to směr intenzity elektrického pole).

Definice

Proudová hustota

Značka: ${\displaystyle J}$

Jednotka SI: ampér na čtverečný metr, značka ${\displaystyle \mathrm {Am} ^{-2}}$

Hustota elektrického proudu je definována jako součin objemové hustoty ${\displaystyle \rho }$ elektrického náboje a rychlosti ${\displaystyle v}$ jeho nosiče v daném místě, tj.:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\rho \ {\boldsymbol {v}}}$,

její velikost je rovna podílu okamžitého elektrického proudu procházejícího daným elementem průřezu vodiče ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\perp }}$ kolmého na střední směr ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ pohybu nosičů nábojů, které proud ${\displaystyle I}$ tvoří:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} S_{\perp }}}{\boldsymbol {n}}}$,

což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud ${\displaystyle I}$ celým průřezem vodiče:

${\displaystyle I=\int _{S}{\boldsymbol {J}}\cdot \mathrm {d} S_{\perp }}$.

V případě, že je proud po průřezu vodiče rozložený rovnoměrně, lze tento vztah zjednodušit na skalární vztah:

${\displaystyle J={\frac {I}{S_{\perp }}}}$.

Délková proudová hustota

Značka: ${\displaystyle J_{S}}$

Jednotka SI: ampér na metr, značka ${\displaystyle \mathrm {Am} ^{-1}}$

Délková hustota elektrického proudu je definována jako součin plošné hustoty ${\displaystyle \sigma }$ elektrického náboje a rychlosti ${\displaystyle v}$ jeho nosiče v daném místě, tj.:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}=\sigma \ {\boldsymbol {v}}}$,

její velikost je rovna podílu okamžitého elektrického proudu procházejícího daným elementem délky vodiče ${\displaystyle \mathrm {d} l}$ ve středním směru ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ pohybu nosičů nábojů, které proud ${\displaystyle I}$ tvoří:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} l}}{\boldsymbol {n}}}$,

což lze v integrálním tvaru zapsat vztahem pro proud ${\displaystyle I}$ celým délkovým „průřezem“ vodiče:

${\displaystyle I=\int _{l}{\boldsymbol {J}}_{S}\cdot \mathrm {d} l}$.

Hustota plošného elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru, které se týkají plošných vodičů nebo plošných rozhraní. Příkladem může být rovnice pro změnu vektoru intenzity magnetického pole na plošném rozhraní protékaném proudem o délkové hustotě ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{S}}$ (jednotkový vektor normály ${\displaystyle \mathbf {n} }$ směřuje z prostředí 2 do prostředí 1):

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\times \left({\boldsymbol {H}}_{1}-{\boldsymbol {H}}_{2}\right)={\boldsymbol {J}}_{S}}$.

Použití

Ve fyzice

Hustota elektrického proudu vystupuje ve vztazích teorie elektromagnetického pole formulovaných v diferenciálním tvaru. Příkladem mohou být

• rovnice kontinuity, tj. zákon zachování elektrického náboje v diferenciálním tvaru:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {J}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$,

• Ohmův zákon v diferenciálním tvaru:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\sigma {\boldsymbol {E}}}$,

• první Maxwellova rovnice:

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {J}}_{\mathrm {vol} }+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}}$.

V elektrotechnice

Lokální hustota tepelného výkonu (Joulova tepla) uvolňovaného při průchodu elektrického proudu daným prostředím je dána skalárním součinem intenzity elektrického pole ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ a hustoty elektrického proudu ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ (${\displaystyle P}$ značí výkon, ${\displaystyle V}$ objem):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} V}}={\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {E}}}$.

Uvolňované lokální teplo je tedy přímo úměrné hustotě elektrického proudu a ta je proto vhodnou charakteristikou pro limitaci, která zamezuje účinkům přílišného lokálního zahřátí vodiče. Aby se vodič příliš neohříval, neměla by být hustota při dlouhodobém zatěžování vyšší než cca 4 A/mm² (u mědi a hliníku).^[1][2]

Zobecnění

Jako u elektrického proudu lze rozdělit i hustotu na hustotu volného proudu a hustotu proudů vázaných (polarizačních a magnetizačních). Lze ji zobecnit i na případy, kdy nedochází k pohybu nositelů náboje, a definovat tzv. hustotu Maxwellova proudu:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{\mathrm {Max} }=\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}$.

Reference

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 3. vyd. Praha: Karolinum, 2012. 595 s. ISBN 978-80-246-2198-2. 

Související články

• Elektrický proud
• Elektrický náboj
• Elektrický potenciál

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Hustota elektrického proudu na Wikimedia Commons
• Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy