Přímka vedená z počátku protíná hyperbolu x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} ( cosh a , sinh a ) {\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)} a {\displaystyle \scriptstyle a} x {\displaystyle \scriptstyle x} x {\displaystyle \scriptstyle x} Jako hyperbolické funkce se v matematice označuje skupina několika funkcí analogicky podobných k funkcím goniometrickým . Základními funkcemi jsou hyperbolický sinus (sinh) a kosinus (cosh), ze kterých je odvozen hyperbolický tangens (tanh), kotangens (coth), sekans (sech) a kosekans (csch). Inverzní funkce k funkcím hyperbolickým se označují jako hyperbolometrické funkce .
Stejně jako sinus a kosinus definují body jednotkové kružnice , hyperbolický sinus a kosinus definují body pravé větve rovnoosé hyperboly . Parametrem těchto funkcí je hyperbolický úhel .
Hyperbolické funkce se často objevují v řešení některých diferenciálních rovnic , nebo např. v rovnici křivky řetězovky .
Definice hyperbolických funkcí sinh , cosh a tanh csch , sech a coth Hyperbolické funkce jsou definovány následovně:
sinh x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}} cosh x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}} tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} coth x = cosh x sinh x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}} sech x = ( cosh x ) − 1 = 2 e x + e − x = 2 e x e 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}} csch x = ( sinh x ) − 1 = 2 e x − e − x = 2 e x e 2 x − 1 {\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}} kde e je Eulerovo číslo .
Hyperbolické funkce mohou být také definovány pomocí imaginárního úhlu:
sinh x = − i sin i x {\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!} cosh x = cos i x {\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!} tanh x = − i tan i x {\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!} coth x = i cot i x {\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!} sech x = sec i x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!} csch x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!} kde i je imaginární číslo definované jako i 2 = −1.
Tyto komplexní tvary jsou odvozeny z Eulerova vzorce .
Užitečné vztahy Sudost
cosh ( − x ) = cosh x {\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!} sech ( − x ) = sech x {\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!} Lichost
sinh ( − x ) = − sinh x {\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!} tanh ( − x ) = − tanh x {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!} coth ( − x ) = − coth x {\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!} csch ( − x ) = − csch x {\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!} Hyperbolický sinus a kosinus splňují podmínku:
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,} a podobně:
tanh 2 x = 1 − sech 2 x {\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x} coth 2 x = 1 + csch 2 x {\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x} Derivace d d x sinh x = cosh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,} d d x cosh x = sinh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,} d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 / cosh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,} d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 / sinh 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,} d d x csch x = − coth x csch x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,} d d x sech x = − tanh x sech x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x artanh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x arcoth x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}} Standardní integrály Pro kompletní seznam integrálů přejděte na Seznam integrálů hyperbolických funkcí .
∫ sinh a x d x = a − 1 cosh a x + C {\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C} ∫ cosh a x d x = a − 1 sinh a x + C {\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C} ∫ tanh a x d x = a − 1 ln ( cosh a x ) + C {\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C} ∫ coth a x d x = a − 1 ln ( sinh a x ) + C {\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C} ∫ d u a 2 + u 2 = sinh − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u 2 − a 2 = cosh − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 tanh − 1 ( u a ) + C ; u 2 < a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}} ∫ d u a 2 − u 2 = a − 1 coth − 1 ( u a ) + C ; u 2 > a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}} ∫ d u u a 2 − u 2 = − a − 1 sech − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u a 2 + u 2 = − a − 1 csch − 1 | u a | + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} kde C je integrační konstanta .
Související články Reference V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hyperbolic function
Externí odkazy 
Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolická funkce na Wikimedia Commons 
