Hyperbolický kotangens

Hyperbolický kotangens je hyperbolická funkce. Značí se coth(x).

Definice

Hyperbolický kotangens je definován pomocí hyperbolického kosinu a hyperbolického sinu, přičemž

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ a ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$, kde e je Eulerovo číslo.

Tedy ${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}$

Hyperbolický kotangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako:

${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$, kde i je imaginární číslo definované jako ${\displaystyle i^{2}}$ = −1.

Inverzní funkcí k hyperbolickému kotangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Vlastnosti

• Hyperbolický kotangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka:

${\displaystyle \coth(-x)=-\coth(x)}$

• Definiční obor funkce coth(x):

${\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}}$

• Obor hodnot funkce coth(x):

${\displaystyle (-\infty ;-1)\cup (1;\infty )}$

Vzorečky

${\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}$, kde funkce csch je funkce kosekans

${\displaystyle \coth(2x)={\frac {1+\coth ^{2}(x)}{2\coth(x)}}}$

${\displaystyle \coth(x+y)={\frac {\coth(x).\coth(y)+1}{\coth(y)+\coth(x)}}}$

Derivace

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}$

Integrál

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln(\sinh x);x>0}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln(-\sinh x);x<0}$