Hyperkoule

Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného (${\displaystyle n>3}$) prostoru. Je definována jako množina bodů, které mají od daného bodu (tzv. středu) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru ${\displaystyle r}$. Povrch hyperkoule v ${\displaystyle n}$-rozměrném prostoru je ${\displaystyle (n-1)}$-rozměrný a tvoří varietu, která se nazývá (n−1)-sféra a značí se standardně ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ (viz také 3-sféra).

Objem^[ujasnit] ${\displaystyle n}$-rozměrné koule o poloměru ${\displaystyle r}$ lze definovat rekurzivně vztahem

${\displaystyle V_{n}(r)=\int _{-r}^{r}V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})\,\mathrm {d} x}$

kde ${\displaystyle V_{2}(r)=\pi r^{2}}$ je známý vzorec pro obsah kruhu o poloměru ${\displaystyle r}$. Dopočtením dostaneme vzorec v uzavřeném tvaru

${\displaystyle V_{n}=r^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=r^{n}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$

kde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ je funkce gama.

Tento vzorec lze zjednodušit rozepsáním na liché a sudé počty rozměrů. Pro liché ${\displaystyle n=2k+1}$

${\displaystyle V_{2k+1}=V_{n}^{\text{liché}}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}=r^{2k+1}{\frac {\pi ^{k}2^{k+1}}{(2k+1)!!}},}$

pro sudé ${\displaystyle n=2k}$

${\displaystyle V_{2k}=V_{n}^{\text{sudé}}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}=r^{2k}{\frac {\pi ^{k}}{k!}}.}$

Povrch ${\displaystyle n}$-rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle ${\displaystyle r}$, tedy

${\displaystyle S_{n}=nr^{n-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=nr^{n-1}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}$

Tento vzorec lze opět zjednodušit, pro liché ${\displaystyle n=2k+1}$

${\displaystyle S_{2k+1}=S_{n}^{\text{liché}}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}=(2k+1)r^{2k}{\frac {\pi ^{k}2^{k+1}}{(2k+1)!!}},}$

pro sudé ${\displaystyle n=2k}$

${\displaystyle S_{2k}=S_{n}^{\text{sudé}}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}=2kr^{2k-1}{\frac {\pi ^{k}}{k!}}.}$

• n-rozměrné koule – s odvozením vztahů