Identita , nebo také identické zobrazení , je matematické zobrazení , které přiřazuje prvku množiny ten samý prvek stejné množiny. Aplikací identity se tedy nic nezmění, výsledkem je opět vstupní hodnota. Značí se Id I
Identitou se také v jiném významu rozumí rovnice , která je splněna ve všech případech, tzn. její levá a pravá strana jsou identické, mají pouze jiný tvar. Na příklad ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Často používané identity Algebraické identity Některé pokládají základy algebry jako na příklad a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a + ( − a ) = 0 {\displaystyle a+(-a)=0}
Mezi nejčastější patří:
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
a 4 + b 4 = ( a 2 + i b 2 ) ( a 2 − i b 2 ) {\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}+ib^{2})(a^{2}-ib^{2})}
a 4 − b 4 = ( a − b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
a 5 + b 5 = ( a + b ) ( a 4 − a 3 b + a 2 b 2 − a b 3 + b 4 ) {\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})}
a 5 − b 5 = ( a − b ) ( a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + a b 3 + b 4 ) {\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}
a 6 + b 6 = ( a 3 + i b 3 ) ( a 3 − i b 3 ) {\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{3}+ib^{3})(a^{3}-ib^{3})}
a 6 − b 6 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
Obecně
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 b n − 3 + a b n − 2 + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot \cdot \cdot +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + a n − 3 b 2 − ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 b n − 3 − a b n − 2 + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdot \cdot \cdot +a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})} lichá n {\displaystyle n}
a n + b n = ( a n 2 + i b n 2 ) ( a n 2 − i b n 2 ) {\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{\frac {n}{2}}+ib^{\frac {n}{2}})(a^{\frac {n}{2}}-ib^{\frac {n}{2}})} n {\displaystyle n} 2 {\displaystyle 2}
Pro n {\displaystyle n} 2 {\displaystyle 2} n = 2 m {\displaystyle n=2m} m {\displaystyle m} p {\displaystyle p} m {\displaystyle m} m p = 2 q {\displaystyle {\frac {m}{p}}=2q} q {\displaystyle q}
a n + b n = ( a 2 q + b 2 q ) ( a 2 q ( p − 1 ) − a 2 q ( p − 2 ) ) b 2 q + a 2 q ( p − 3 ) ( b 2 q ) 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − ( a 2 q ) 2 ( b 2 q ) p − 3 − a 2 q ( b 2 q ) p − 2 + ( b 2 q ) p − 1 ) {\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{2q}+b^{2q})(a^{2q(p-1)}-{\frac {a^{2q(p-2)})}{b^{2q}}}+{\frac {a^{2q(p-3)}}{(b^{2q})^{2}}}-\cdot \cdot \cdot -{\frac {(a^{2q})^{2}}{(b^{2q})^{p-3}}}-{\frac {a^{2q}}{(b^{2q})^{p-2}}}+{(b^{2q})^{p-1}})} n {\displaystyle n}
Exponenciální identity a r a s = a r + s {\displaystyle a^{r}a^{s}=a^{r+s}}
a r a s = a r − s {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}} a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
( a r ) s = a r s {\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{rs}}
a r b r = ( a b ) r {\displaystyle a^{r}b^{r}=(ab)^{r}}
a r s = a r s {\displaystyle a^{\frac {r}{s}}={\sqrt[{s}]{a^{r}}}} s ≠ 0 {\displaystyle s\neq 0}
a − r = 1 a r {\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}
Vlastnosti identického zobrazení Identické zobrazení na vektorovém prostoru je lineární . Na konečnědimenzionálním vektorovém prostoru je dokonce kompaktní .
Identita jako neutrální prvek grupy Máme-li grupu zobrazení s operací skládání, je právě identita její neutrální prvek .
Kupříkladu matice reprezentují lineární zobrazení na konečnědimenzionálních vektorových prostorech a násobení matic reprezentuje skládání těchto zobrazení. Proto v grupě matic s operací násobení je neutrální prvek identita (identické zobrazení), tedy jednotková matice .
Identita jako geometrické zobrazení Geometrická identita. Jako geometrické zobrazení představuje identita takové zobrazení, při němž obrazem každého bodu A {\displaystyle A} geometrického útvaru U {\displaystyle U} A ′ {\displaystyle A^{\prime }} U ′ {\displaystyle U^{\prime }} A ′ {\displaystyle A^{\prime }} A {\displaystyle A} A = A ′ {\displaystyle A=A^{\prime }} U {\displaystyle U} U ′ {\displaystyle U^{\prime }} U = U ′ {\displaystyle U=U^{\prime }}
Související články Externí odkazy Slovníkové heslo identita ve Wikislovníku 
Slovníkové heslo identita ve Wikislovníku