Integrál

Integrál jako plocha pod křivkou
Souvislost plochy pod funkcí a primitivní funkce (animace)

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy.

Mějme funkci ƒ reálné proměnné x na intervalu <ab>. Pojem (určitý) integrál

vzniká z potřeby vyjádřit obsah plochy ve dvojrozměrné rovině, který je omezen grafem funkce ƒ, osou x a svislými přímkami x = a a x = b.

Pojmem integrál se občas označuje primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce ƒ. To celé se pak nazývá neurčitý integrál a zapisuje se

Integrály, o nichž se píše níže, jsou určité integrály.

Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Věta zní asi takto: Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [ab] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je

nebo je-li pak

Názorné vysvětlení

Plocha pod křivkou

Jednoduše řečeno, je určitý integrál nezáporné funkce jedné proměnné f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem tzv. dlouhým s (ſ) (z latinského slova ſumma, summa, což znamená součet). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Slovo integrál zavedl Johann Bernoulli. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako , kde znaménko ∫ značí integrování, a jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), označuje proměnnou, podle které se integruje ( původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu). Písmeno d se na rozdíl od proměnné nepíše kurzívou.

Klasický „určitý“ integrál

Definice

Existuje mnoho definic určitého integrálu. Mezi ně patří:

  • Newtonův integrál (jehož definice souvisí s neurčitým integrálem)
  • Zobecněný Newtonův integrál
  • Riemannův integrál (jehož definice vystihuje geometrickou interpretaci „plocha pod křivkou“)
  • Lebesgueův integrál, který dokáže zintegrovat zvláště širokou třídu funkcí
  • Mohrův integrál
  • Duhamelův integrál
  • Borweinův integrál
  • trigonometrický integrál (integrálsinus)

Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná. Definice jsou tedy ekvivalentní nad společnými podmnožinami svých definičních oborů.[1]

Neurčitý integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Primitivní funkce.

Termínem „neurčitý integrál“ funkce se v Česku často rozumí množina jejích primitivních funkcí. Tento zvyk vznikl nejspíše proto, že při výpočtu integrálů „hezkých“ funkcí se často využívá primitivních funkcí, a to díky základní větě analýzy.

Při hledání primitivní funkce může být použita integrace per partes či substituční metoda.

Aplikace

Související informace naleznete také v článku Aplikace integrálu.

Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

Newtonův integrál

Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity, například u spodní meze takto (F je primitivní funkce k f):

Například

Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu:

Například

Složitější typy určitého integrálu

Křivkový integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Křivkový integrál.

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

Komplexní integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrál

Podrobnější informace naleznete v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti . Je-li funkcí proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti označujeme jako vícerozměrný (-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

Počet integračních znaků odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem

Podrobnější informace naleznete v článku Základní věta integrálního počtu.

Fyzikální význam

Určitý i neurčitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic – například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, neurčitý integrál ze zrychlení je rychlost apod.

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t1 do t2. Pokud polohu v závislosti na čase označíme , platí tedy

Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí

neboli

Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných primitivní funkce) je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t0.)

Příklad: Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je , kde je tíhové zrychlení a znaménko minus vyjadřuje směr dolů (kde na povrchu Země se nachází počátek souřadnic). Pro polohu pak platí:

Číslo se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce popisuje volný pád z výšky 50 metrů.

Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:

Odkazy

Literatura

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Reference

  1. Věta pro Riemannův integrál a Lebesgueův integrál, V. I. Bogachev: Measure Theory, Springer. - http://web.science.upjs.sk/jozefdobos/wp-content/uploads/2012/04/nevlastny.pdf, slovensky

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Что такое интеграл Анимация.gif
Autor: Кубриков, Licence: CC BY-SA 4.0
Что такое интеграл Анимация
Integral as region under curve.svg
Autor: 4C, Licence: CC-BY-SA-3.0
Image showing an integral as the area of a region under a curve (Created with Inkscape v.043).
Equation: S = abf(x)dx, where y=f(x).