Integrační článek

Integrační článek (integrátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci integrování – napětí na výstupu je integrálem napětí na vstupu podle času. Ideální integrační článek tak realizuje funkci:

${\displaystyle u_{2}(t)=K_{\rm {i}}\int \limits _{0}^{t}{u_{1}(\tau )d\tau }}$,

kde ${\displaystyle K_{\rm {i}}}$ je konstanta integrátoru.

Funkce

Integrační článek má frekvenční charakteristiku dolnopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí klesá. U ideálního integrátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný pokles amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je −20 dB/dek.

Přenos integračního článku je ${\displaystyle F(j\omega )={\frac {U_{2}}{U_{1}}}={\frac {1}{1+j\omega K_{\rm {i}}}}}$.

Integrační konstanta pasivního integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je K_i  = RC, s rezistorem a cívkou K_i  = L/R.

Na integrátoru dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je opět závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv zvyšuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence -90°.

Frekvence, při které dochází k poklesu napětí −3 dB (A_U = 0,707), se označuje jako frekvence zlomu (zlomová frekvence). Fázový posuv je při něm roven -45°.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

${\displaystyle |F(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log 1-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li ${\displaystyle \omega RC<<1}$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomového úhlové frekvence ${\displaystyle \omega _{0}}$ roven nule.
2. Je-li ${\displaystyle \omega RC=1}$, je ${\displaystyle \omega =\omega _{0}=1/RC=1/K_{i}}$ kde ${\displaystyle \omega _{0}}$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li ${\displaystyle \omega RC>>1}$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ${\displaystyle \omega _{0}}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a cívkou je:

${\displaystyle |F(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log 1-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}{\frac {L^{2}}{R^{2}}}}}}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li ${\displaystyle \omega L/R<<1}$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\displaystyle \omega _{0}}$ roven nule.
2. Je-li ${\displaystyle \omega L/R=1}$, je ${\displaystyle \omega =\omega _{0}=R/L=1/K_{i}}$ kde ${\displaystyle \omega _{0}}$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li ${\displaystyle \omega L/R>>1}$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve úhlové zlomové frekvenci ${\displaystyle \omega _{0}}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě ${\displaystyle \omega _{0}}$ (3 dB), to je také kmitočet, při kterém se impedance frekvenčně závislé součástky (C nebo L) vyrovná odporu použitého R.

Fázová frekvenční charakteristika

Fázová frekvenční charakteristika integračního článku je ${\displaystyle \varphi (\omega )={\mbox{arctg}}{\frac {{\mbox{Im}}\{F(j\omega )\}}{{\mbox{Re}}\{F(j\omega )\}}}=-{\mbox{arctg}}(\omega K_{i})}$.

Speciálně pro RC článek ${\displaystyle \varphi (\omega )=-arctg(\omega RC)}$ a pro RL článek ${\displaystyle \varphi (\omega )=-arctg({\frac {\omega L}{R}})}$.

Z grafu funkce arkus tangens vyplývá že fázová charakteristika bude vycházet přibližně z počátku souřadných os (osa x je logaritmická, čili začíná jedničkou a proto přesně vzato nemůže fázová charakteristika vycházet z počátku), při úhlové frekvenci ${\displaystyle \omega =\omega _{0}=1/K_{i}}$ je argument funkce 1 a fázový posuv tedy ${\displaystyle -\pi /4}$. S dalším nárůstem frekvence se bude fázová charakteristika blížit ${\displaystyle -\pi /2}$.

Obecně lze říci že každému zlomu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky o -20 dB/dek (resp + 20 dB/dek) odpovídá posun fáze o -90° (resp +90°), je-li monotónní (konstantně roste nebo klesá) je fázová frekvenční charakteristika konstantní.

Obrázek naznačuje charakteristiky integračního článku (pasivní dolní propusti) s ${\displaystyle K_{i}=0,01}$. Červeně je naznačená logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika, modře její skutečný průběh a zeleně fázová charakteristika.

Konstrukce

Integrační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický integrátor obsahuje operační zesilovač s kondenzátorem ve zpětnovazební smyčce. Integrátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí–frekvence s čítačem impulsů.

Reference

• Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
• Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články

• Derivační článek