Involuce (matematika)

Involuce je v matematice taková funkce, která je sama sobě inverzním zobrazením. Tedy taková funkce ${\displaystyle f}$, která pro všechna ${\displaystyle x}$ ze svého definičního oboru splňuje ${\displaystyle f(f(x))=x}$. Tato vlastnost zobrazení se nazývá involutornost.

Každá involuce je nutně vzájemně jednoznačné zobrazení, jedná se tedy o permutaci dané množiny.

Počet možných involucí na konečné množině závisí na její mohutnosti a Heinrich August Rothe odhalil v roce 1800 rekurentní vztah, který udává počet možných involucí n-prvkové množiny:

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$ pro ${\displaystyle n>1}$

Pro ${\displaystyle n=0,1,\dots }$ jsou počáteční hodnoty této posloupnosti 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232. V rámci encyklopedie celočíselných posloupností má tato posloupnost označení A000085.^[1]

Řada jednoduchých a důležitých příkladů involucí je v geometrii, jedná se například o osovou souměrnost nebo středovou souměrnost nebo rotace of 180°. Obecně involutorní shodnost ve vícerozměrných eukleidovských prostorech je souměrnost podle podprostoru. Involucí je také kruhová inverze.

V aritmetice (respektive obecněji v algebře) je involucí zobrazení na inverzní prvek, tedy v případě sčítání zobrazení přiřazující číslu opačné číslo, v případě násobení (ovšemže pouze pro invertibilní prvky) převrácená hodnota.

Pro komplexní čísla je příkladem involuce operace (komplexního) sdružení.

Pro množiny matic je involuce transpozice a hermitovská transpozice. Matice, která je hermitovská a zároveň unitární reprezentuje involutivní lineární zobrazení.

Jednoduchými příklady z informatiky jsou „šifra“ ROT13 a bitová operace exkluzivní disjunkce s konstantou.