Izolovaný a limitní kardinál

Izolovaný kardinál a limitní kardinál jsou pojmy z teorie množin, které rozdělují kardinální čísla na dvě disjunktní třídy podle postavení v hierarchii kardinálů.

Definice

Je-li ${\displaystyle \lambda \,\!}$ kardinál, pak množina všech větších kardinálů má vždy nejmenší prvek – označme jej ${\displaystyle \lambda ^{+}\,\!}$ a nazvěme následníkem kardinálu ${\displaystyle \lambda \,\!}$. Kardinál ${\displaystyle \lambda \,\!}$ nazýváme předchůdcem kardinálu ${\displaystyle \lambda ^{+}\,\!}$

Řekneme, že kardinál je limitní, pokud nemá předchůdce a je neprázdný.
V opačném případě mluvíme o izolovaném kardinálu.

Poznámka: Pojmy limitní kardinál a izolovaný kardinál nesmí být zaměňovány s pojmy limitní ordinál a izolovaný ordinál. Každý nekonečný kardinál je limitním ordinálem, bez ohledu na to, zda se jedná o limitní kardinál nebo izolovaný kardinál.

Příklady

• Všechna konečná ordinální čísla jsou zároveň izolované kardinály.
• Množina přirozených čísel ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}\,\!}$ je první limitní kardinál.
• ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\ldots \,\!}$, jsou izolované kardinály, obecně pro každý izolovaný ordinál ${\displaystyle \alpha >0\,\!}$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ izolovaný kardinál.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega }\,\!}$ je první nespočetný limitní kardinál, opět obecně pro každý limitní ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ limitní kardinál.

Související články

• Ordinální aritmetika
• Kardinální aritmetika
• Regulární kardinál
• Singulární kardinál
• Limitní ordinál
• Izolovaný ordinál