Jednostranná limita

Jednostranná limita je v infinitezimálním počtu libovolná z limit funkce f(x) reálné proměnné x, u nichž se x přibližuje k zadanému bodu buď zleva nebo zprava.

Levá limita – limita pro x blížící se k bodu a „zprava“ („shora“) se značí

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\ }$, ${\displaystyle \lim _{x\downarrow a}\,f(x)}$, ${\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)}$, případně ${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)}$,

pravá limita – limita pro x blížící se k bodu a „zleva“ („zdola“) se značí

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$, ${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}\,f(x)}$, ${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$, případně ${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)}$

V teorii pravděpodobnosti je obvyklé používat zkrácenou notaci:

${\displaystyle f(x-)}$ pro levou limitu a ${\displaystyle f(x+)}$ pro pravou limitu.

Existence oboustranné limity

Obě jednostranné limity existují a jsou si rovné, jestliže limita funkce f(x) pro x blížící se hodnotě a existuje. V některých případech, kdy limita

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

neexistuje, mohou existovat obě jednostranné limity. Proto se limita pro x blížící se k bodu a bez omezení z jaké strany někdy nazývá „oboustranná limita“.

V některých případech jedna jednostranná limita existuje a druhá ne, v některých případech neexistuje ani jedna.

Limitu zprava lze přesně definovat jako

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

a limita zleva jako

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

kde I je interval v definičním oboru funkce f.

Příklady

Příklad funkce, která má v bodě 0 dvě různé jednostranné limity:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

zatímco

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Vztah k topologické definici limity

Jednostranná limita v bodě p odpovídá obecné definici limity, s definiční oborem funkce omezeným na jednu stranu; buď omezením, kdy definiční obor funkce je podmnožinou topologického prostoru nebo uvažováním jednostranného podprostoru obsahujícího p. Alternativně můžeme uvažovat definiční obor s topologií polootevřených intervalů.

Abelova věta

Významná věta zabývající se jednostrannými limitami určitých mocninných řad na hranicích jejich poloměru konvergence je Abelova věta.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku One-sided limit na anglické Wikipedii.

Související články

• Projektivně rozšířená reálná osa
• Semi-derivovatelnost
• Limes superior a limes inferior

Externí odkazy

• one-sided limit – jednostranná limita na serveru PlanetMath