Jensenova nerovnost

Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. Lze ji využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

Vyjádření

Nechť ${\displaystyle \varphi }$ je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \left(\forall i\in {\hat {n}}\right)\left(x_{i}\in \left[a,b\right]\right)}$.
Potom platí: ${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$,
kde ${\displaystyle \left(\forall i\in {\hat {n}}\right)\left(\lambda _{i}\in \left[0,1\right]\right)}$ a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$.
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

Důkaz

Konvexnost funkce ${\displaystyle \varphi }$ na ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ je ekvivalentní s výrokem:

${\displaystyle \left(\forall x,y\in \left[a,b\right],x<y\right)\left(\forall \lambda \in \left[0,1\right]\right)\left(\varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x\right)\leq \lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x)\right)}$.

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle ${\displaystyle n}$.

• ${\displaystyle n=1}$: případ je triviální,
• ${\displaystyle n=2}$: tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
• ${\displaystyle n\to n+1}$:

Indukční předpoklad: ${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$.
Dokážeme tuto nerovnost pro ${\displaystyle n+1}$, tedy: ${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$.
Sporem lze ukázat: ${\displaystyle \left(\exists i_{0}\in {\widehat {n+1}}\right)\left(\lambda _{i_{0}}\neq 1\right)}$. Kdyby totiž platil opak, tedy ${\displaystyle \left(\forall i_{0}\in {\widehat {n+1}}\right)\left(\lambda _{i_{0}}=1\right)}$, pak ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}=n+1\geq 2}$, což je spor s předpoklady.

Protože platí: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}=1}$, platí také ${\displaystyle \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}\lambda _{i}=\lambda }$, kde ${\displaystyle \lambda :=1-\lambda _{i_{0}}}$, a tedy: ${\displaystyle \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}=1}$.
Snadno lze také ukázat: ${\displaystyle \left(\forall i\in {\widehat {n+1}},i\neq i_{0}\right)\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}\in \left[0,1\right]\right)}$, protože ${\displaystyle \left(\forall i\in {\widehat {n+1}},i\neq i_{0}\right)\left(\lambda _{i}\in \left[0,\lambda \right]\right)}$.
Pak lze zřejmě psát: ${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)=\varphi \left(\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}+\lambda _{i_{0}}x_{i_{0}}\right)=\varphi \left(\lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)}$.
Označme: ${\displaystyle y:=\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}}$ a dokažme, že ${\displaystyle y\in \left[a,b\right]}$. Protože ${\displaystyle \left(\forall i\in {\widehat {n+1}}\right)\left(x_{i}\in \left[a,b\right]\right)}$, můžeme ${\displaystyle y}$ odhadnout shora, resp. zdola, když za ${\displaystyle x_{i}}$, pro všechna ${\displaystyle i}$ dosadíme ${\displaystyle b}$, resp. ${\displaystyle a}$ (zřejmě totiž platí: ${\displaystyle b=\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}b}$, pro ${\displaystyle a}$ analogicky).
Potom lze napsat: ${\displaystyle \varphi \left(\lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i}+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)=\varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)}$.
Z uvedené definice konvexnosti plyne: ${\displaystyle \varphi \left(\lambda y+(1-\lambda )x_{i_{0}}\right)\leq \lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})}$.
Podle indukčního předpokladu lze psát: ${\displaystyle \lambda \varphi (y)+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})=\lambda \varphi (\sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}x_{i})+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})\leq \lambda \sum _{i=1,i\neq i_{0}}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}\varphi (x_{i})+(1-\lambda )\varphi (x_{i_{0}})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$.
Důsledkem tedy je: ${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$, což je dokazovaná nerovnost.

Související články

• Nerovnost (matematika)
• Konvexní funkce
• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Youngova nerovnost