Křivost křivky

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky ${\displaystyle f}$ se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivky

• Je-li známá rovnice rovinné křivky ${\displaystyle f=f(x)}$ v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky ${\displaystyle \kappa }$ je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r}}={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {y''}{[1+y'^{2}]^{3/2}}}}$.

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r}}\approx {\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{1+{\frac {3}{2}}{\bigl (}{df \over dx}{\bigr )}^{2}}}\approx {d^{2}f \over dx^{2}}}$.

Výše uvedený vztah je používaný v základní mechanice nosníků.

• Je-li rovnice křivky daná parametricky ${\displaystyle x=p(t),y=q(t)}$ v kartézském souřadném systému

${\displaystyle \kappa ={\frac {|y''x'-x''y'|}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{3/2}}}.}$

Další informace

Inflexní bod křivky má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je také poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, při řešení kinematiky a dynamiky pohybu, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. ^[1], ^[2] a elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch .

Příklady výpočtu

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí ${\displaystyle f=f(x)=kx+q}$, kde ${\displaystyle k,q}$ jsou konstanty.

Pro derivace ${\displaystyle f}$ platí ${\displaystyle {df \over dx}=k}$ a ${\displaystyle {df^{2} \over dx^{2}}=0}$.

Pro křivost přímky pak platí ${\displaystyle \kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {0}{[1+(k)^{2}]^{3/2}}}=0}$.

Křivost kružnice

kružnice je daná např. rovnicí ${\displaystyle f=f(x)=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$, kde ${\displaystyle r}$ je poloměr kružnice.

Pro derivace ${\displaystyle f}$, pak platí ${\displaystyle {df \over dx}={-x \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}}$ a ${\displaystyle {df^{2} \over dx^{2}}={-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}}$ .

Pro křivost dané kružnice pak platí ${\displaystyle \kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}{[1+({-r \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}]^{3/2}}}=-1/r}$.

Výpočet křivosti v software Mathcad

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice (f(x) = ax²+bx+c) v sw Mathcad (ukázka programování, tzv. symbolický výpočet).

• 

  Odvození vztahu pro křivost v sw Mathcad (kvadratická rovnice)

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu křivost na Wikimedia Commons
• Elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch
• Nosník na pružném podkladu
• Poloměr křivosti