Kardioida

Vznik srdcovky kotálením
Srdcovka a parabola navzájem zobrazené kruhovou inverzí

Kardioida (z řeckého καρδίαsrdce) neboli srdcovka je algebraická rovinná křivka 4. stupně (kvartika). Patří mezi kotálnice (cykloidy) a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Srdcovka je součástí obrazce ve fraktálu Mandelbrotovy množiny.

Rovnice

Kardioidu lze popsat následujícím parametrickým vyjádřením v kartézských souřadnicích (a je poloměr kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice):

V komplexní rovině tomu odpovídá parametrizace

Příslušná obecná rovnice v kartézských souřadnicích je

respektive v komplexní rovině

.

Další možností je zápis v polárních souřadnicích:

Míry

Délka srdcovky je rovna

a obsah její vnitřní oblasti

.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cardioid na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Inverse Curves Parabola Cardioid.svg
The cardioid and the parabola are inverse curves.
Cardiod animation.gif
Autor: AtomicShoelace, Licence: CC BY-SA 4.0
Generated in MAPLE using the following code:

with(plots): p1:=animate(polarplot, [1-cos(theta), theta=0..t,axes = none, numpoints=10000, colour=red], t=0..2*Pi, frames=125):

p2:=polarplot(-cos(theta), theta=0..2*Pi, colour=blue): p3:=animate(implicitplot, [(x-sin(u)+0.5)^2+(y+cos(u))^2=0.5^2, x=-2..1, y=-1.5..1.5,colour=black, numpoints=50000], u=Pi/2..5/2*Pi, frames=125): p4:=animate(pointplot,[coords=polar, [1-cos(t),t], colour=red, symbol=solidcircle], t=0..2*Pi, frames=125): display(p1,p2,p3,p4);