Kombinační číslo

Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka, ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní. Pokud počítáme od nuly, tak na -tém řádku odshora a -té pozici na daném řádku se nachází .
Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny

Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu (bez ohledu na pořadí jejích prvků) z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu:

Platí rovnost

Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.

Základní vlastnosti

Pro přirozená čísla n a k, kde a , platí:[1]


Zobecnění kombinačních čísel

Pokud definujeme kombinační číslo takto

,

kde je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo není celé nezáporné. Na číslo dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.

Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí

,

kde i mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.

Odkazy

Literatura

  • MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky. 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum, 2007. ISBN 978-80-246-1411-3. Kapitola 3. Kombinatorické počítání, s. 76–82. 
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4., upravené vyd. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola 1.7.1. Binomické koeficienty, binomická věta, s. 156–160. 

Reference

  1. HAVRLANT, Lukáš. Kombinace. www.matweb.cz [online]. [cit. 2025-02-20]. Dostupné online. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Pascal's triangle 5.svg
Autor: User:Conrad.Irwin originally User:Drini, Licence: CC BY-SA 3.0
Pascal's triangle to 5 rows, the first row is the zero row. It also called the Halayudha's triangle, in honor of the Sanskrit prosody scholar who described it. (See: Alexander Zawaira and Gavin Hitchcock (2008), A Primer for Mathematics Competitions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-156170-2, page 237)
Binomial theorem visualisation.svg
Autor: Cmglee, Licence: CC BY-SA 3.0
Visualisation of binomial expansion up to the 4th power.