Kombinace

Kombinace je základní pojem z kombinatoriky. k-Členná kombinace z n prvků je skupina k prvků, vybraná z n různých prvků, u níž nezáleží na jejich pořadí. Od variace se liší tím, že je neuspořádaná.

Kombinace bez opakování

Počet kombinací ${\displaystyle k}$-té třídy z ${\displaystyle n}$-prvků bez opakování, neuspořádaných ${\displaystyle k}$-tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je

${\displaystyle C_{k}(n)={n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$,

kde symbol ${\displaystyle {n \choose k}}$ představuje kombinační číslo, „n nad k“.

Příklady

Mějme skupinu tří prvků ${\displaystyle a,b,c}$, tzn. ${\displaystyle n=3}$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme ${\displaystyle a}$ nebo ${\displaystyle b}$ nebo ${\displaystyle c}$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. ${\displaystyle k=1}$, a tedy počet výběrů je roven

${\displaystyle C_{1}(3)={3 \choose 1}={3! \over {1!\cdot (3-1)!}}={3\cdot 2! \over 2!}=3}$

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle ac}$, ${\displaystyle bc}$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ${\displaystyle k=2}$) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

${\displaystyle C_{2}(3)={3 \choose 2}=3}$

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: ${\displaystyle abc}$. Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy ${\displaystyle k=3}$) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

${\displaystyle C_{3}(3)={3 \choose 3}=1}$

Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel?

${\displaystyle C_{6}(49)={49 \choose 6}={49! \over {6!\cdot (49-6)!}}={49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43! \over {720\cdot 43!}}=13~983~816}$

Kombinace s opakováním

Počet kombinací ${\displaystyle k}$-té třídy z ${\displaystyle n}$ prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

${\displaystyle C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose n-1}={{(n+k-1)} \choose k}={(n+k-1)! \over k!(n-1)!}}$

Příklady

Mějme skupinu dvou prvků ${\displaystyle a,b}$, tzn. ${\displaystyle n=2}$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme ${\displaystyle a}$ nebo ${\displaystyle b}$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. ${\displaystyle k=1}$, a tedy počet výběrů je roven

${\displaystyle C_{1}^{\prime }(2)={{(2+1-1)} \choose 1}={2 \choose 1}=2}$

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: ${\displaystyle aa}$, ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle bb}$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ${\displaystyle k=2}$) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

${\displaystyle C_{2}^{\prime }(2)={{(2+2-1)} \choose 2}={3 \choose 2}=3}$

Obdobně bychom dostali ${\displaystyle C_{3}^{\prime }(2)={{(2+3-1)} \choose 3}={4 \choose 3}=4}$, atd.

Literatura

• Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. 

Související články

• Permutace
• Variace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kombinace na Wikimedia Commons
• Téma Kombinace ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo kombinace ve Wikislovníku