Kombinace

Kombinace je základní pojem z kombinatoriky. k-Členná kombinace z n prvků je skupina k prvků, vybraná z n různých prvků, u níž nezáleží na jejich pořadí. Od variace se liší tím, že je neuspořádaná.

Kombinace bez opakování

Počet kombinací -té třídy z -prvků bez opakování, neuspořádaných -tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je

,

kde symbol představuje kombinační číslo, „n nad k“.

Příklady

Mějme skupinu tří prvků , tzn. .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme nebo nebo . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. , a tedy počet výběrů je roven

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: , , . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

Jaký je počet možných různých tahů Sportky, kde se z celkem 49 čísel náhodně vybírá 6 čísel?

Kombinace s opakováním

Počet kombinací -té třídy z prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

Příklady

Mějme skupinu dvou prvků , tzn. .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme nebo . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. , a tedy počet výběrů je roven

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.


Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: , , . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

Obdobně bychom dostali , atd.

Literatura

  • Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. 

Související články

Externí odkazy