Kompaktní konvergence

V matematice se kompaktní konvergencí neboli stejnoměrnou konvergencí na kompaktních množinách rozumí určité zobecnění myšlenky stejnoměrné konvergence.

Definice

Nechť ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ je topologický prostor a ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ je metrický prostor. O posloupnosti funkcí

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

se říká, že kompaktně konverguje k nějaké funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$ pro ${\displaystyle n\to \infty }$, pokud pro každou kompaktní množinu ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle (f_{n})|_{K}\to f|_{K}}$

konverguje stejnoměrně na ${\displaystyle K}$ pro ${\displaystyle n\to \infty }$. To znamená, že pro všechny kompaktní ${\displaystyle K\subseteq X}$ platí

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Compact convergence na anglické Wikipedii.