Komplexní analýza

Komplexní analýza je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože reálná i imaginární část každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široce aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jedním z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.

Komplexní analýza má kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení, má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci lze nezávisle proměnnou i závisle proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:

${\displaystyle z=x+iy\ }$ tj. ${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$

kde ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ je imaginární jednotka.

Složky funkce ${\displaystyle f(z)}$:

${\displaystyle u=u(x,y)\ }$ a ${\displaystyle \ v=v(x,y)}$

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Komplexní exponenciálu komplexní proměnné můžeme zavést pomocí komplexní funkce ${\displaystyle z}$ reálné proměnné ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle z=\cos y+i\sin y\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {\text{dz}}{\text{dy}}}=-\sin y+i\cos y=i\left(\cos y+i\sin y\right)=iz\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {\text{dz}}{z}}=i{\text{dy}}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \int _{}^{}{{\frac {1}{z}}{\text{dz}}}=i\int _{}^{}{\text{dy}}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z=iy\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z=e^{iy}}$

následujícím způsobem:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left(\cos y+i\sin y\right)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)}$,

pro jejíž derivaci platí:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\\\end{matrix}}\right|=\left(e^{x}\cos y\right)^{2}+\left(e^{x}\sin y\right)^{2}=\left|e^{x+{\text{iy}}}\right|^{2}}$

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.

• VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza pro učitele [online]. Praha: 10. 2. 2013 [cit. 2019-09-26]. Dostupné online. ISBN 80-246-0202-4. 

• Obrázky, zvuky či videa k tématu komplexní analýza na Wikimedia Commons