Komplexně sdružené číslo

V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla ${\displaystyle z=a+bi=re^{i\phi }}$ (kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle \phi }$ jsou reálná čísla, ${\displaystyle r}$ nezáporné) nazývá číslo ${\displaystyle {\overline {z}}=a-bi=re^{-i\phi }}$. Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo a často také pomocí hvězdičky, například:
${\displaystyle {\overline {3-2i}}=(3-2i)^{*}=3+2i}$
${\displaystyle {\overline {i}}=i^{*}=-i}$
${\displaystyle {\overline {7}}=7^{*}=7}$

Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak.

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {w}}}$, právě tehdy když ${\displaystyle z=w}$

${\displaystyle {\overline {({\overline {z}})}}=z}$

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}$

${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\ {\overline {w}}}$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ pro w nenulové

${\displaystyle {\overline {z}}=z}$ právě když je z reálné číslo

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ pro z nenulové

První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.

Komplexní sdružení matice

Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto

${\displaystyle {\overline {\;\cdot \;}}:M_{n\times m}(\mathbb {C} )\to M_{n\times m}(\mathbb {C} )}$

takže dle dané matice ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{ij})\mapsto {\overline {A}}=({\overline {a_{ij}}})}$.

Příklad

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {A}}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}}$

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu komplexně sdružené číslo na Wikimedia Commons

Související články

• Komplexní číslo
• Matice
• Hermitovské sdružení