Komutativní těleso

Komutativní těleso^[1] (někdy stručně těleso^[2] podle německého körper, někdy též pole z anglického field) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace, sčítání a násobení, pro které platí řada určených vlastností. Jedná se o taková tělesa, kde násobení splňuje navíc komutativitu, respektive takové komutativní okruhy, kde navíc existuje inverzní prvek pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Tělesa, ve kterých násobení není komutativní, se nazývají nekomutativní tělesa.^[1]

Definice komutativního tělesa

Trojici ${\displaystyle ({\mathcal {T}},+,\cdot )}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ je množina a + (sčítání) a ${\displaystyle \cdot }$ (násobení) jsou binární operace, nazveme komutativním tělesem, je-li ${\displaystyle ({\mathcal {T}},+,\cdot )}$ okruh a platí-li navíc

• pro každé ${\displaystyle x\in {\mathcal {T}}\setminus \{0\}}$ existuje ${\displaystyle y\in {\mathcal {T}}}$ tak, že ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1}$, což značíme ${\displaystyle y=x^{-1}}$ (existence inverzního prvku k násobení), a
• pro každé ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {T}}}$ platí ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ (komutativita násobení).

Tělesa s přídavnou strukturou

Vzhledem k tomu, že tělesa jsou v matematice všudypřítomná, jsou uvažována některá vylepšení konceptu tělesa pro přizpůsobení potřebám konkrétních matematických oblastí.

Topologické těleso

Těleso F se nazývá topologické, když množina F je topologickým prostorem, v kterém všechny operace tělesa (sčítání, násobení, zobrazení a ↦ −a a a ↦ a⁻¹) jsou spojitá zobrazení vzhledem k uvažované topologii. ^[3] Topologie těles obvykle bývá indukována metrikou, tj. funkcí

d : F × F → R,

která měří vzdálenosti mezi libovolnými body F. Topologická tělesa jsou speciálním případem topologických okruhů.

Příklady těles

• Racionální čísla ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Reálná čísla ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a jejich největší algebraické komutativní nadtěleso, komplexní čísla ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Konečná tělesa ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$
• Racionální funkce nad libovolným komutativním tělesem

Reference