Konečná množina

Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.

Definice

Konečnou množinu lze definovat několika ekvivalentními způsoby:

• Množina je konečná, pokud ji nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějakou její vlastní podmnožinu.
• Množina je konečná, pokud ji lze vzájemně jednoznačně zobrazit na některé přirozené číslo.
• Množina je konečná, pokud každá neprázdná podmnožina potenční množiny má alespoň jeden maximální prvek vzhledem k uspořádání ${\displaystyle \subseteq \,\!}$ („být podmnožinou“).

Výrok „x je konečná množina“ je obvykle zapisován symbolem ${\displaystyle Fin(x)\,\!}$.

Třída všech konečných množin je zapisována symbolem
${\displaystyle Fin=\{x:Fin(x)\}\,\!}$

Význam

Bez ohledu na to, kterou definici vybereme, zachycuje pojem konečné množiny intuitivní význam slova konečný - konečné jsou takové soubory prvků, pro které lze určit jejich počet - nějaké přirozené číslo. Tento počet prvků odpovídá u konečných množin obecnějšímu pojmu mohutnost.

Tato možnost přiřadit konečné množině nějaké přirozené číslo jako její počet, znamená, že konečnou množinu lze vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny ${\displaystyle \omega \,\!}$ všech přirozených čísel - každá konečná množina je tedy spočetná.

Všechny množiny se na základě pojmu konečnosti a spočetnosti rozpadají do tří kategorií:

• konečné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na přirozené číslo
• nekonečné spočetné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech přirozených čísel
• ostatní - nespočetné

Příklady a vlastnosti

• Prázdná množina je konečná.
• Každé přirozené číslo (ve smyslu množinové definice přirozených čísel) je konečná množina.
• ${\displaystyle \omega \,\!}$ není konečná množina - vezmu-li například první definici, tak předpisem ${\displaystyle m=2.n\,\!}$ lze ${\displaystyle \omega \,\!}$ zobrazit na množinu všech sudých čísel, což je její vlastní podmnožina

Pokud platí ${\displaystyle Fin(x),Fin(y)\,\!}$, pak také

• ${\displaystyle Fin(x\cup y)\,\!}$ (sjednocení dvou konečných množin je konečné)
• ${\displaystyle Fin(x\cap y)\,\!}$ (průnik dvou konečných množin je konečný)
• ${\displaystyle Fin(x\times y)\,\!}$ (kartézský součin dvou konečných množin je konečný)
• ${\displaystyle Fin(\mathbb {P} (x))\,\!}$ (potenční množina konečné množiny je konečná)

Související články

• Nekonečná množina
• Spočetná množina
• Nespočetná množina
• Přirozená čísla
• Ordinální čísla