Konvexní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu ke konvexním kombinacím.

Konvexní obal množiny vektorů v rovině. Můžeme si představit, že okraj obalu je určený gumičkou nataženou kolem vektorů.

Definice

Mějme ${\displaystyle \scriptstyle V}$ vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ množinu vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Množinu všech konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ (angl. convex span, convex hull či convex envelope). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako ${\displaystyle \scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }}$. V matematické symbolice tedy

${\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}}$.

Vlastnosti

Mějme vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Pro konvexní obaly vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ lze odvodit mimo jiné následující vlastnosti (${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}}$).

• Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })}$

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal je skutečně konvexní množina.

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj.

${\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K}$

Důkaz: Doplnit...

Související články

• lineární obal
• afinní obal