Kosmická rychlost

Kosmická rychlost je rychlost potřebná k překonání gravitačního působení kosmického tělesa. Existuje několik kosmických rychlostí, běžně se lze setkat s prvními třemi.^[1]

1. kosmická rychlost

Kruhová rychlost je minimální rychlost, kterou se musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa pohybovat, aby nespadlo na povrch obíhaného tělesa. Obíhající těleso se při ní pohybuje po kruhové trajektorii. Velikost 1. kosmické rychlosti lze určit ze vztahu

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$,

kde ${\displaystyle v_{k}}$ je rychlost, ${\displaystyle G}$ gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost obíhaného tělesa, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles (obvykle součet poloměru obíhaného tělesa — např. Země — a výšky trajektorie nad povrchem) a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.

1. kosmická rychlost označuje kruhovou rychlost v gravitačním poli Země. Z její velikosti například vyplývá výška geostacionární dráhy.

Odvození vztahu

Pohybuje-li se těleso po kružnici, působí na něj dostředivá síla, v případě pohybu v gravitačním poli se jedná o sílu gravitační. Zároveň na něj působí opačným směrem setrvačná odstředivá síla. Má-li obíhající těleso zachovat stálou vzdálenost od druhého tělesa, které obíhá, musí být uvedené dvě síly v rovnováze:

${\displaystyle {\vec {F_{d}}}=-{\vec {F_{g}}}}$,

kde ${\displaystyle F_{d}}$ je síla odstředivá a ${\displaystyle F_{g}}$ síla gravitační (dostředivá). Pro velikosti těchto sil pak platí:

${\displaystyle F_{d}=F_{g}}$

Po dosazení vztahu pro odstředivou sílu a Newtonova gravitačního zákona:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v^{2}}{r}}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$,

kde m je hmotnost obíhajícího tělesa a M hmotnost obíhaného tělesa. Po úpravách:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}$

2. kosmická rychlost

Úniková rychlost, neboli parabolická rychlost, je minimální rychlost, kterou se musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa pohybovat, aby mohlo toto gravitační pole opustit. Obíhající těleso se při ní pohybuje po parabolické trajektorii. Velikost únikové rychlosti lze určit ze vztahu

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}={\sqrt {2}}\cdot v_{k}}$,

kde ${\displaystyle v_{p}}$ je rychlost (úniková), kde ${\displaystyle v_{k}}$ kruhová rychlost, ${\displaystyle G}$ gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost tělesa, v jehož gravitačním poli se druhé těleso pohybuje, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles (obvykle součet poloměru obíhaného tělesa — např. Země — a výšky trajektorie nad povrchem) a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.

2. kosmická rychlost označuje únikovou rychlost z gravitačního pole Země. Pro start tělesa přímo z povrchu Země má toto těleso již od počátku rotační rychlost Země (způsobenou otáčením Země kolem vlastní osy), se kterou je nutné dále počítat. V kosmonautice se této skutečnosti s výhodou využívá, rakety proto běžně startují směrem na východ a pokud možno z co nejnižší zeměpisné šířky (na rovníku je největší obvodová rychlost).

Odvození vztahu

Dle zákona zachování energie zůstává součet pohybové a polohové energie tělesa zachován, tedy:

${\displaystyle E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}}$

a po dosazení:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+(-G{\frac {mM}{r}})=0+0}$.

Pohybová energie je po opuštění gravitačního pole nulová, protože počítáme s minimální možnou rychlostí a proto předpokládáme, že se veškerá pohybová energie spotřebuje. Polohová energie tělesa opustivšího gravitační pole je také nulová. Zároveň však s rostoucí vzdáleností od středu gravitačního pole tato energie stoupá a proto musí mít v rovnici záporné znaménko (viz článek gravitační potenciální energie). Po úpravě:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$

3. kosmická rychlost

3. kosmická rychlost, neboli hyperbolická rychlost, je úniková rychlost z gravitačního pole Slunce. Pro její velikost tedy platí vztah pro únikovou rychlost, s hodnotou hmotnosti Slunce. Těleso se při ní pohybuje po hyperbolické trajektorii, v kosmonautice se však k jejímu dosažení využívá gravitačních manévrů, které pochopitelně trajektorii mění. Při startu ze Země je potřeba kromě rotační rychlosti Země (viz část 2. kosmická rychlost) přičíst i 2. kosmickou rychlost, kterou těleso potřebuje k opuštění gravitačního pole Země.

Prvními tělesy vyrobenými lidmi, která získala třetí kosmickou rychlost a v budoucnu tak opustí Sluneční soustavu, jsou sondy Pioneer 10 a 11. Pioneer 10 byl vypuštěn 3. března 1972 a brzy po startu získal rychlost 14,5 km·s⁻¹. Pioneer 11 byl vypuštěn 6. dubna 1973 a po startu získal rychlost 14,3 km·s⁻¹. Tyto rychlosti jsou samozřejmě nižší než 3. kosmická rychlost, byly však později zvýšeny pomocí gravitačního praku. Dalšími sondami, které opouštějí Sluneční soustavu jsou Voyager 1 (vypuštěn 5. září 1977), Voyager 2 (vypuštěn 20. srpna 1977) a New Horizons (vypuštěn 19. ledna 2006).

Ostatní kosmické rychlosti

• 4. kosmická rychlost – rychlost potřebná k dosažení Slunce.^[2] Pro start z povrchu Země je její hodnota 31,8 km/s.
• 5. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru kolmém k rovině ekliptiky, pro start z povrchu Země je její hodnota asi 52,8 km/s.
• 6. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru proti oběhu Země okolo Slunce (rozdíl oproti 3. kosmické rychlosti). Na povrchu Země činí 72,8 km/s.

Tabulky

U těles označených * je poloměr určen horní hranicí mračen v atmosféře (resp. hranicí heliosféry u Slunce).

Reference

Související články

• Ciolkovského rovnice