Kosočtverečný dvanáctistěn

Kosočtverečný dvanáctistěn
Objemstředově souměrný
Povrchkonvexní
Obrazec stěnykosočtverec
Počet vrcholů14
Počet hran24
Počet stěn12
Úhel u vrcholu120°
Duální mnohostěn[[]]

Kosočtverečný dvanáctistěn (rombický dodekaedr) je prostorové těleso, konkrétně konvexní mnohostěn s 12 shodnými kosočtverečnými stěnami. Má 24 hran a 14 vrcholů, z čehož 8 vrcholů spojují 3 hrany a 6 vrcholů spojují 4 hrany.

Vlastnosti

Kosočtverečný dvanáctistěn je středově souměrný a je duální ke kuboktaedru (krychloktaedru), Archimedovskému tělesu.

Délka úhlopříčky každé stěny je přesně √ 2 násobkem délky kratší úhlopříčky, takže ostré úhly v každém kosočtverci měří arccos (1/3), tedy přibližně 70,53°.

Těleso je středově souměrné, proto má navzájem rovnoběžné protilehlé stěny. Nemůžeme ho ale považovat za pravidelné, jelikož vrcholy leží ve dvou různých vzdálenostech od středu. Tím pádem všechny vrcholy neleží na kouli.

Do kosočtverečného dvanáctistěnu můžeme vepsat některá Platónská tělesa. Lze sem vepsat čtyřstěn, krychle i osmistěn. Čtyřstěn sestrojíme spojením čtyř nesousedících vrcholů tvořených třemi hranami. Krychli zkonstruujeme propojením všech vrcholů se sbíhajícími se třemi hranami, takže hrany krychle jsou kratší úhlopříčky kosočtverců. Pro osmistěn spojíme všechny vrcholy tvořené čtyřmi hranami, hrany osmistěnu jsou pak delší úhlopříčky kosočtverců.

Platónská tělesa v kosočtverečném dvanáctistěnu

Kosočtverečný dvanáctistěn je duální ke kuboktaedru (krychloktaedru), Archimedovskému tělesu. Můžeme jej sestrojit, tak, že propojíme středy všech jeho stěn.

Kuboktaedr uvnitř kosočtverečného dvanáctistěnu

Kosočtverečný dvanáctistěn může být rozdělen na dvanáct pravidelných čtyřbokých jehlanů, které vycházejí z původní vnitřní krychle. To vysvětluje, proč těleso dokáže pokrýt prostor bez mezer. Toho si můžeme mimo jiné povšimnout v krystalické mřížce granátu. V krystalografii se mřížka označuje jako krychlová.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rhombic dodecahedron na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Kosoctverecny dvanactisten vepsana telesa.png
Autor: Jakjeze, Licence: CC BY-SA 4.0
Platónská tělesa v kosočtverečném dvanáctistěnu
Rhombic dodecahedra.jpg
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Grenat pyrope 1.jpg
garnet var. pyrope : Arami Alp, Gorduno, Bellinzona, Ticino, Switzerland
Cubes-R1 ani.gif
Autor: TED-43, Licence: CC BY 3.0
Morphing of cubes to rhombic decahedrons
Rhombicdodecahedron.gif
(c) Cyp, CC BY-SA 3.0
Tento grafika byl vytvořen programem POV-Ray.
Kuboktaedr uvnitr kosoctverecneho dvanactistenu .png
Autor: Jakjeze, Licence: CC BY-SA 4.0
Kuboktaedr uvnitř kosočtverečného dvanáctistěnu
R1-cube.gif
Autor: TED-43, Licence: CC BY 3.0
Cube to rhombic dodecahedron