Kovariance

Kovariance je statistickou mírou lineární závislosti dvou veličin. Normovaná hodnota kovariance je korelační koeficient.

Definice

Kovariance dvou náhodných veličin je definována jako

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}},}$

kde ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ značí kovarianci náhodných veličin ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ a kde ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ značí střední hodnotu.

Pozn.: Pokud ${\displaystyle X=Y}$, pak ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X).}$

Výpočet kovariance provádíme pomocí odhadu střední hodnoty (${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\overline {x}}}$, resp. ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]={\overline {y}}}$):

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-{\overline {x}})(Y-{\overline {y}}){\big ]}}}$

Hodnota kovariance může být

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)>0}$, pokud jedna náhodná veličina roste, případně klesá, spolu s druhou, což naznačuje lineární závislost ve smyslu přímé úměry.
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)<0}$, pokud jedna náhodná veličina klesá, zatímco druhá roste, což naznačuje lineární závislost ve smyslu nepřímé úměry.
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)\doteq 0}$, pokud mezi náhodnými veličinami není přímá nebo nepřímá úměrnost, což naznačuje lineární nezávislost. Neznamená to ale nezávislost ve smyslu stochastickém či kauzálním.

Vlastnosti

Pro rozptyl součtu dvou náhodných veličin lze pak psát

${\displaystyle \operatorname {Var} (X\pm Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)}$