Kreační operátor

Kreační a anihilační operátory byly původně zavedeny jako pomůcka pro řešení lineárního harmonického oscilátoru. Později nalezly značné uplatnění ve formalizmu obsazovacích čísel u nerozlišitelných částic, případně teorii pole.

Lineární harmonický oscilátor

U lineárního harmonického oscilátoru zavádíme anihilační operátor v energiové bázi takto:

${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$

Matice tohoto operátoru má tedy tvar:

${\displaystyle {\hat {a}}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&\cdots &\cdots \\0&0&{\sqrt {2}}&\cdots &\cdots \\\vdots &0&0&{\sqrt {3}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Hermitovským sdružením matice získáme vztah pro operátor kreační:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$

Speciálně od je zřejmé, že: ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$

Případně, že:

${\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle }$

Vidíme tedy, že n-tý energetický stav je až na konstantu dán n-násobným působením kreačního operátoru na vektor ${\displaystyle |0\rangle }$, který nazýváme vakuum.

Pro další výpočty je užitečná komutační relace, kterou lze snadno odvodit z definice:

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}$

Z definic je taktéž zřejmé, že definujeme-li operátor ${\displaystyle {\hat {N}}}$ jako

${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$,

pak pro diagonální maticové elementy platí:

${\displaystyle \langle n|{\hat {N}}|n\rangle =n}$

Tento operátor tedy odpovídá pozorovatelné veličině, jenž udává v kolikáté energetické hladině se systém nalézá. Z důvodu, jenž bude zřejmý později, tento operátor nazýváme operátorem počtu částic.

Reprezentace obsazovacích čísel

Reprezentace obsazovacích čísel je s výhodou používána u systémů skládajícího se z několika identických částic, bosonů nebo fermionů. Výhodou tohoto popisu je skutečnost, že takto zapsané vektory automaticky splňují podmínky související s nerozlišitelností částic.