Kroneckerovo delta

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například ${\displaystyle \delta _{12}=0}$, ale ${\displaystyle \delta _{33}=1}$. Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δ_ij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

nebo, při použití Iversonových závorek:

${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$

Vlastnosti delta funkce

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.}$

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),}$

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

${\displaystyle \delta _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}^{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}:=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k},j_{k}}}$.

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

${\displaystyle \delta _{\underline {n}}^{\underline {m}}=\delta _{j}^{i}\ {\boldsymbol {\mathrm {d} }}_{\underline {n}}x^{j}\otimes {\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},}$

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ tak, že ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$ je-li ${\displaystyle i=j\,}$ a ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$ jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy ${\displaystyle \delta }$ snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota ${\displaystyle \delta ^{ij}}$, resp. ${\displaystyle \delta _{ij}}$, obecně jiná.

Související články

• Levi-Civitův symbol
• Diracovo delta
• Diracova míra
• izotropní tenzor