Krylovův prostor

Krylovův prostor, respektive Krylovův podprostor, je pojem z oboru lineární algebry. Pro čtvercovou matici ${\displaystyle A}$ stupně ${\displaystyle n}$ a vektor ${\displaystyle b}$ dimenze ${\displaystyle n}$ je Krylovův podprostor řádu ${\displaystyle r}$ definován jako lineární obal násobků ${\displaystyle b}$ prvními ${\displaystyle r}$ mocninami ${\displaystyle A}$ počínaje od nulté mocniny, tedy jednotkové matice (${\displaystyle A^{0}=I}$). Tedy lineární obal vektorů ${\displaystyle b,Ab,A^{2}b,\dots ,A^{r-1}b}$.

Jméno pochází od ruského námořního inženýra a aplikovaného matematika Alexeje Nikolajeviče Krylova, který o nich napsal v roce 1931 práci.

Svou aplikaci našly Krylovovy podprostory například v moderních iteračních metodách pro hledání vlastních hodnot velkých řídkých matic nebo pro řešení velkých soustav lineárních rovnic, kde je z hlediska výpočetní složitosti jejich výhodou, že dochází k násobení velké matice vektorem a nikoliv k násobení přímo velkých matic mezi sebou. Výpočet členů posloupnosti vektorů ${\displaystyle b,Ab,A^{2}b,A^{3}b,\dots }$ lze totiž spočítat násobením předchozího členu maticí ${\displaystyle A}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Krylov subspace na anglické Wikipedii.