Kuželosečka
Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s rotační kuželovou plochou, přičemž rovina neprochází jejím vrcholem.
Typy kuželoseček
Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.
Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)
Degenerované kuželosečky
Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.
Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.
Algebraické vyjádření
Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí
- ,
kde koeficienty jsou reálná čísla, přičemž . Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v a .
Invarianty
Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.
Uvedená rovnice má tři invarianty:
- determinant kuželosečky
- determinant kvadratických členů
- třetím invarientem je stopa malé matice
Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty , avšak uvedené invarianty se nezmění.
Klasifikace kuželoseček podle invariantů
Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.
Je-li , pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).
Rozdělení kuželoseček | středové kuželosečky | nestředové kuželosečky | |||
vlastní kuželosečky | reálná elipsa | hyperbola | parabola | ||
imaginární elipsa | |||||
nevlastní kuželosečky | dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem | dvě reálné různoběžky | dvě různé reálné rovnoběžky | dvě splývající rovnoběžky | dvě imaginární rovnoběžky |
Středové rovnice kuželoseček
- Kružnice:
- Elipsa:
- Parabola:
- Hyperbola:
Výskyt a použití kuželoseček
Kuželosečky mají praktické uplatnění v architektuře, optice, radiotechnice, astronomii a dalších oborech. Vlnění vycházející libovolným směrem z jednoho ohniska elipsy (nebo rotační eliptické plochy) je odráženo do druhého ohniska; této skutečnosti se využívá při výrobě laserů[1] a při vytváření tak zvaných šeptajících galerií, kdy slova šeptaná v jednom ohnisku klenby nebo zakřivené stěny jsou dobře slyšitelná pouze ve vzdáleném druhém ohnisku. Vlnění vycházející z ohniska paraboly je odráženo jako svazek rovnoběžných paprsků stejným směrem, čehož se využívá při výrobě světlometů, dalekohledů, parabolických antén a radioteleskopů. Pomocí parabolického zrcadla se zapaluje Olympijský oheň. Opominutí vlastností kuželoseček může vést k požárům, zraněním nebo poškozování věcí.[2]
Řešením nejjednodušší úlohy nebeské mechaniky – pohybu hmotného bodu v gravitačním poli centrálního tělesa – jsou kuželosečky. V prvním přiblížení lze pohyb planet, asteroidů, komet a meziplanetárních sond okolo Slunce, stejně jako pohyb přirozených i umělých satelitů okolo planet popsat jako pohyb lehčího objektu po kuželosečce okolo hmotnějšího objektu, viz Keplerovy zákony.
Odkazy
Reference
- ↑ REICHL, Jaroslav; VŠETIČKA, Martin. Lasery využívající pevné látky [online]. Dostupné online.
- ↑ Londýnský parabolický mrakodrap ničí auta, roztavil jaguára či dodávku [online]. MAFRA a.s., 2013-09-03. Dostupné online.
Literatura
- Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 112-113
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu kuželosečka na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo kuželosečka ve Wikislovníku
- Kuželosečky (pdf)
Média použitá na této stránce
Autor: No machine-readable author provided. Nk assumed (based on copyright claims)., Licence: CC BY-SA 3.0
Language neutral version of Image:Conic sections 2.png.
Autor:
Originally by Duk; Původně soubor načetl Che na projektu Wikipedie v jazyce čeština
Later versions were uploaded by Interiot at cs.wikipedia., Licence: CC-BY-SA-3.0Druhy kuželoseček..