Kulová úseč
V geometrii je kulová úseč část koule odříznutá rovinou. Kulová úseč je těleso. Prochází-li rovina středem koule, tzn. výška kulové úseče se rovná poloměru koule, kulová úseč se pak nazývá polokoule.
Povrch kulové úseče (bez podstavy) se nazývá kulový vrchlík. Kulový vrchlík je plocha kterou je kulová úseč omezena. Kulový vrchlík si můžeme představit jako „čepičku“.
Objem kulové úseče a povrch kulového vrchlíku
Objem kulové úseče a povrch zakřiveného povrchu kulového vrchlíku lze vypočítat pomocí následujících vztahů:
- Poloměr koule
- Poloměr kruhové podstavy úseče
- Výška úseče od středu podstavy úseče k vrcholu úseče (pólu)
- Polární úhel mezi přímkou od středu koule k vrcholu úseče (pól) a okrajem podstavy úseče
Použitím a | Použitím a | Použitím a | |
---|---|---|---|
Objem | |||
Plocha |
Vzorce používající a lze vyjádřit tak, aby používali poloměr podstavy úseče místo , použitím Pythagorovy věty:
aby
Dosazením do vzorců dostáváme:
Odvození objemu a plochy povrchu pomocí infinitezimálního počtu
Vzorce objemu a plochy mohou být odvozeny zkoumáním rotace funkce
for , použijeme vztah výpočtu plochy pomocí určitého integrálu a pro výpočet objemu tělesa také za pomocí určitého integrálu.
Výpočet plochy je
Derivací funkce f je:
a odtud
Vzorec pro tuto oblast je tedy
Objem je
Aplikace
Objem průniku dvou protínajících se koulí
Objem průniku dvou protínajících se koulí poloměrů a je
kde
je součet objemů obou izolovaných koulí a
je součet objemů dvou úsečí protínající se koulí. Kde je vzdálenost středů koulí, s odečtením dvou proměnných a vede na
Plocha ohraničená dvěma podstavami kulové vrstvy
Zakřivená plocha kulové vrstvy ohraničená dvěma rovnoběžnými disky je rozdílem povrchových ploch jejich příslušných kulových vrchlíků. Pro oblast poloměru a čepice s výškami a , oblast je
nebo při užití zeměpisné polohy se souřadnicemi and ,[1]
Například, Země je koule s poloměrem 6371 km, plocha arktické oblasti (severní arktické oblasti, od souřadnice 66.56° v srpnu 2016[2]) je 2π·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 21.04 mil. km2, nebo 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125% celkové plochy Země.
Tento vzorec lze také použít k prokázání, že polovina povrchové plochy Země leží mezi 30 ° jižní a 30 ° severní šířky ve sférické zóně, která zahrnuje všechny tropické oblasti .
Odkazy
Reference
- ↑ [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. ISBN 9780130868268.
- ↑ Dostupné online.
Literatura
- Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". J. Mol. Biol. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264.
- Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Mol. Phys. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011.
- Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". J. Phys. Chem. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
- Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Mol. Phys. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
- Petitjean, Michel (1994). "On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects". Int. J. Quantum Chem. 15 (5): 507–523. doi:10.1002/jcc.540150504.
- Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). "A Gaussian description of molecular shape". J. Phys. Chem. 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021/j100011a016.
- Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations". Comput. Phys. Commun. 165 (1): 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Kulová úseč na Wikimedia Commons
Média použitá na této stránce
Autor: Christian Aastrup, Licence: CC BY-SA 4.0
You can derive the volume and surface area of a spherical cap by doing calculations on the rotation of this function.