Kvantový harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii ${\displaystyle V(x)}$, která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál ${\displaystyle V(x)}$ zapíšeme jako

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,,}$

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.}$

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Vynásobíme-li celou rovnici ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar \omega }}}$ , získáme

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\Psi (x)={\frac {2E}{\hbar \omega }}\Psi (x)}$

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2E}{\hbar \omega }}\,,}$

rovnice přejde ve tvar

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\right)\Psi (\xi )=-\lambda \Psi (\xi )\,.}$

Po úpravě dostaneme

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}+(\lambda -\xi ^{2})\Psi (\xi )=0\,.}$

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci ${\displaystyle \Psi }$ budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce ${\displaystyle \Psi }$ v asymptotické oblasti ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$. Pro hodnoty ${\displaystyle \xi \to \pm \infty }$ lze ${\displaystyle \lambda }$ v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\Psi (\xi )=0\,.}$

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné konstanty.

${\displaystyle \Psi (\xi )=A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}})+B\exp({\frac {\xi ^{2}}{2}}).}$

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce ${\displaystyle \Psi }$ diverguje pro ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$ a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

${\displaystyle \Psi (\xi )\approx A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}}).}$

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty ${\displaystyle \xi }$, znamená předpokládat, že ${\displaystyle A}$ na ${\displaystyle \xi }$ závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

${\displaystyle \Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})\,,}$

kde ${\displaystyle A(\xi )}$ je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu ${\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)}$ dosazením předešlé rovnice pro ${\displaystyle \Psi }$ získáme novou rovnici pro neznámou funkci ${\displaystyle A(\xi )}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial \xi ^{2}}}-2\xi {\frac {\partial A}{\partial \xi }}+(\lambda -1)A=0\,.}$

Funkci ${\displaystyle A(\xi )}$ budeme hledat ve tvaru mocninné řady

${\displaystyle A(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}\,.}$

Neznámé koeficienty ${\displaystyle a_{k}}$ pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro ${\displaystyle A}$ do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami ${\displaystyle \xi ^{k}}$. Po jistém úsilí získáme

${\displaystyle a_{k}={\frac {(1-\lambda )(5-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{0}\,,}$ pro k = 2, 4, 6, …

${\displaystyle a_{k}={\frac {(3-\lambda )(7-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{1}\,,}$ pro k = 3, 5, 7, …

Protože ${\displaystyle A}$ je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách ${\displaystyle a_{0}}$ a ${\displaystyle a_{1}}$. Ukazuje se však, že nekonečná řada ${\displaystyle A(\Psi )}$ se pro velká ${\displaystyle \lambda }$ chová jako funkce ${\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)}$ , což znamená, že vlnová funkce ${\displaystyle \Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})}$ pro ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$ diverguje. Funkce ${\displaystyle A(\xi )}$ proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce ${\displaystyle A(\xi )}$ tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým ${\displaystyle k}$ platí ${\displaystyle a_{k+2}=0}$ a pro dosud libovolné ${\displaystyle \lambda }$ musí splňovat podmínku

${\displaystyle \lambda =2n+1\,,}$ pro n=0,1,2,...

S ohledem na předešlý vztah a rovnici ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x}$ dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru^{[1] [2]}

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar \omega \lambda }{2}}=\hbar \omega {\frac {2n+1}{2}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$

• Ze vztahu ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
• Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
• Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
• Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
• Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
• Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde ${\displaystyle E<V(x)}$. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

• Potenciálová bariéra
• Potenciálová jáma
• Volná částice

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lineární harmonický oscilátor na Wikimedia Commons
• Ondřej Kučera: Srovnání klasického a kvantového oscilátoru, 19. prosince 2010 fai.utb.cz
• Simulační applet: Kvantový harmonický oscilátor, University of Colorado