Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$,

kde ${\displaystyle a\neq 0}$.

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

• ${\displaystyle ax^{4}}$ – kvartický člen
• ${\displaystyle bx^{3}}$ – kubický člen
• ${\displaystyle cx^{2}}$ – kvadratický člen
• ${\displaystyle dx}$ – lineární člen
• ${\displaystyle e}$ – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,}$

Řešení bikvadratické rovnice

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce ${\displaystyle z=x^{2}}$, čímž vznikne kvadratická rovnice

${\displaystyle az^{2}+bz+c=0\,}$

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

Toto řešení použijeme pro získání hodnot ${\displaystyle x}$, které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}}$

${\displaystyle x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}}$

Obecné řešení kvartické rovnice

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.

1. Obecnou kvartickou rovnici

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$.

Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem ${\displaystyle a\neq 0}$ a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}$

2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)

${\displaystyle x=y-{\frac {B}{4}}}$

a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0\qquad \qquad (1)}$

3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty ${\displaystyle K}$,${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$. Má tedy platit:

${\displaystyle y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)}$.

Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:

${\displaystyle K+M=0}$.

${\displaystyle KM+L+N=p}$

${\displaystyle KN+LM=q}$

${\displaystyle LN=r}$

4. První nejjednodušší lineární rovnice ${\displaystyle M=-K}$ je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za ${\displaystyle M}$ do následujících rovnic

${\displaystyle -K^{2}+L+N=p}$,

${\displaystyle KN-KL=q}$,

${\displaystyle LN=r}$.

5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé ${\displaystyle L,N}$:

${\displaystyle L+N=p+K^{2},}$

${\displaystyle L-N=-{\frac {q}{K}},}$

${\displaystyle LN=r}$.

6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé ${\displaystyle L,N}$. Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel ${\displaystyle X,Y}$ platí vztah

${\displaystyle (X+Y)^{2}-(X-Y)^{2}=4XY}$,

který použijeme na neznámé ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle N}$ v rovnicích 5. kroku:

${\displaystyle (p+K^{2})^{2}-(-{\frac {q}{K}})^{2}=4r.}$

7. Rovnici pro jedinou neznámou ${\displaystyle K}$ snadno upravíme:

${\displaystyle K^{6}+2pK^{4}+K^{2}(p^{2}-4r)-q^{2}=0}$

8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé ${\displaystyle K}$. Substitucí ${\displaystyle s=K^{2}}$ získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu

${\displaystyle s^{3}+2ps^{2}+(p^{2}-4r)s-q^{2}=0}$,

kterou vyřešíme.

9. Zjistili jsme neznámou ${\displaystyle s}$ a tedy i ${\displaystyle K}$. Po dosazení číselné hodnoty ${\displaystyle K}$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle N}$. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů

${\displaystyle (y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)=0}$.

10. Kořeny ${\displaystyle y_{1,2}}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice ${\displaystyle y^{2}+Ky+L=0}$, zatímco kořeny ${\displaystyle y_{3,4}}$ vyřešením kvadratické rovnice ${\displaystyle y^{2}-Ky+N=0}$.

11. Známe-li kořeny ${\displaystyle y_{1,2,3,4}}$, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice ${\displaystyle x_{1,2,3,4}}$.

Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici ${\displaystyle x^{4}+6x^{3}-x-6=0}$ lze snadno rozložit na ${\displaystyle (x+6)(x^{3}-1)=0}$, popř. ještě dál na: ${\displaystyle (x+6)(x-1)(x^{2}+x+1)=0}$, a tak uhodnout z hlavy kořeny ${\displaystyle x_{1}=-6}$, ${\displaystyle x_{2}=1}$.

Obrázky

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

• 

  první ze čtyř řešení kvartické rovnice

• 

  druhé ze čtyř řešení kvartické rovnice

• 

  třetí ze čtyř řešení kvartické rovnice

• 

  čtvrté ze čtyř řešení kvartické rovnice

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články

• Trinomická rovnice
• Kvintická rovnice

Externí odkazy

• Quartic Equation (anglicky)