Kvaternionová grupa

Graf cyklů kvaternionové grupy ${\displaystyle Q_{8}}$. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i ² = −1, i ³ = −i  a i ⁴ = 1.

Kvaternionová grupa ${\displaystyle Q_{8}}$ je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) ${\displaystyle D_{4}}$ jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu ${\displaystyle Q_{8}=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$.

Grupa má reprezentaci

${\displaystyle Q_{8}=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle ,\,\!}$

kde ${\displaystyle 1}$ je neutrální prvek grupy a ${\displaystyle -1}$ komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny ${\displaystyle \{\pm i,\pm j,\pm k\}}$ se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}$

Maticová reprezentace

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi ${\displaystyle 2\times 2}$ zobrazením

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

a ${\displaystyle -1,-i,-j,-k}$ jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy ${\displaystyle Q_{8}}$ na dvourozměrném komplexním prostoru.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quaternion group na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvaternionová grupa na Wikimedia Commons