L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje za určitých předpokladů vypočítat limitu ve vlastním či nevlastním bodě podílu dvou reálných funkcí reálné proměnné v případě, že výpočet limity podílu vede na neurčitý výraz. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes^[1], avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval.

Předpoklady platnosti

Nenulovost funkcí ve jmenovateli

Funkce ${\displaystyle g}$ a ${\displaystyle g'}$ musí být nenulové na nějakém okolí čísla ${\displaystyle a}$ (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou), pokud např. ${\displaystyle a=+\infty }$, pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval ${\displaystyle (r,+\infty )}$ pro nějaké ${\displaystyle r}$, takže například funkce ${\displaystyle g(x)=\sin x}$ předpoklad nesplňuje.

Typ limity na levé straně

Musí platit právě jedna z uvedených podmínek:

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty }$ a ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty }$.

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo limita ve jmenovateli nevlastní. Tyto případy jsou nazývány limita typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ resp. ${\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$. Příkladem jsou funkce ${\displaystyle f(x)=x+2}$ a ${\displaystyle g(x)=x+1}$, které tento předpoklad nesplňují. Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity na pravé straně

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Příkladem jsou funkce ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$ a ${\displaystyle g(x)=x}$ pro ${\displaystyle x\to 0}$. Pro ně platí ${\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}=2x\sin {\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\frac {1}{x^{2}}}}$, první člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí ${\displaystyle {\frac {2}{x}}}$ a ${\displaystyle -{\frac {2}{x}}}$. Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule, což plyne z toho, že pro každé ${\displaystyle x}$ leží ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ v intervalu ${\displaystyle \langle -|x|,|x|\rangle }$.

Příklad

Určeme limitu ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}-6}}}$, tj. ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3}$ a ${\displaystyle g(x)=x^{5}-6}$.

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý, je nutno ověřit existenci limity podílu prvních derivací uvedených funkcí ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}}$. Ověření provedeme opakovanou aplikací L'Hospitalova pravidla na limitu podílu prvních derivací uvedených funkcí , tj. limita podílu druhých derivací uvedených funkcí je pak ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{20x^{3}}}=0}$. Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady opakované aplikace L'Hospitalova pravidla, proto platí ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{5x^{4}}}=0}$. Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hospitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3}{x^{5}-6}}=0}$.

Odkazy

Reference

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články

• Limita funkce
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu L'Hospitalovo pravidlo na Wikimedia Commons
• L'Hospitalovo pravidlo