Lagrangeova závorka

Lagrangeova závorka označuje matematický výraz podobný Poissonově závorce. Lagrangeovy závorky zavedl Joseph Louis Lagrange pro matematickou formulaci klasické mechaniky. Na rozdíl od Poissonových závorek nejsou příliš využívány.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$. Je-li každá z kanonických souřadnic vyjádřena jako funkce dvou proměnných ${\displaystyle u}$ a ${\displaystyle v}$, pak Lagrangeova závorka ${\displaystyle u}$ a ${\displaystyle v}$ je určena výrazem

${\displaystyle [u,v]=[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}$

Lze dokázat, že hodnota Lagrangeovy závorky ${\displaystyle [u,v]}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=[u,v]_{P,Q}}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Lagrangeova závorka vztahuje.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lagrange bracket na anglické Wikipedii.

Související články

• Poissonova závorka