Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

${\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)e^{-x}dx,}$

přičemž n-tý Laguerrův polynom ${\displaystyle L_{n}(x)}$ je polynom stupně n^[1]

Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

${\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)x^{a}e^{-x}dx}$

s ${\displaystyle a>-1}$ získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)}$.

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}(x)}$ a ${\displaystyle L_{n}^{(a)}}$, které se někdy uvádějí jako definice, jsou

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\mathrm {e} ^{-x}),}$

${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)={\frac {x^{-a}\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n+a}\mathrm {e} ^{-x}).}$

Explicitně se dají definovat vztahy

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$

${\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+a \choose n-k}{\frac {x^{k}}{k!}}.}$

Někteří autoři^[2] definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem ${\displaystyle n!}$:

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}{\frac {n^{2}{(n-1)}^{2}\cdots {(k+1)}^{2}}{(n-k)!}}x^{k}.}$

Vlastnosti

Laguerrovy polynomy ${\displaystyle L_{n}(x)}$ jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice^[2]

${\displaystyle xy^{\prime \prime }+(1-x)y^{\prime }+ny=0}$

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

Reference

Související články

• Ortogonální polynomy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laguerrovy polynomy na Wikimedia Commons