Laplaceova metoda

Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru

Meze a mohou nabývat hodnot .

Čím větší je tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.[1]

Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.

Tvrzení

Nechť a existuje ostré minimum (tedy a ). Dále platí . Pak platí

nebo v terminologii asymptotické analýzy

.

Odvození

Základní myšlenka je následující:[2]

Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí .

Za předpokladu, že je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:

Funkci v bodě vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:

Tedy můžeme aproximovat

Odtud plyne

Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methode von Laplace na německé Wikipedii.

Literatura

  1. LAPLACE, Pierre-Simon. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième [online]. Institute of Mathematical Statistics [cit. 2021-05-21]. Dostupné online. 
  2. COHN, Steve. Integral Asymptotics: Laplace’s Method [online]. University of Nebraska-Lincoln. Dostupné online.