Lebesgueův bod

Pojem Lebesgueův bod zobecňuje v matematické analýze vlastnost spojitých funkcí, že jejich integrál přes malou kouli dělený objemem této koule se pro dostatečně malé poloměry blíží k hodnotě funkce ve středu koule.

Definice

Bod ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ je Lebesgueův bod funkce ${\displaystyle u\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$, právě když

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0+}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|u(y)-u(x)|dy=0}$.

Věta o Lebesgueových bodech

Buď ${\displaystyle u\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$. Pak skoro všechny body ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ jsou Lebesgueovy body funkce ${\displaystyle u}$.

Související články

• L^p prostor
• Lebesgueův integrál