Lebesgueova věta

Lebesgueova věta popřípadě Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu je matematická věta umožňující záměnu pořadí operací:${\displaystyle \lim }$ a ${\displaystyle \int }$.

Znění věty

Ať funkce ${\displaystyle \ f_{n}(x)}$ a ${\displaystyle \ f(x)}$ jsou měřitelné v ${\displaystyle \ M}$ a ${\displaystyle \ f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$ pro skoro všechna ${\displaystyle x\in \mathbf {M} }$. Ať existuje ${\displaystyle \ g(x)\in \mathbf {L} (M)}$ Tak, že ${\displaystyle \ |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ skoro všude v ${\displaystyle M}$. Pak platí: ${\displaystyle f}$ je měřitelná na ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)dx=\int _{M}f(x)dx}$, což lze zapsat i jako:${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)dx=\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)dx}$.

Poznámka

• Existuje i verze této věty pro řady funkcí

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgueova veta na slovenské Wikipedii.

• Http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html