V matematice , a zvlášť v tenzorovém počtu , se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi ), také nazývaný permutační symbolantisymetrický symbol , definuje následovně:
Levi-Civitův symbol ε i j k = { + 1 je-li ( i , j , k ) rovno ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) nebo ( 3 , 1 , 2 ) , − 1 je-li ( i , j , k ) rovno ( 3 , 2 , 1 ) , ( 1 , 3 , 2 ) nebo ( 2 , 1 , 3 ) , 0 jindy, tj.: i = j nebo j = k nebo k = i , {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jindy, tj.: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i,\end{cases}}} tj. hodnota je 1 jestliže (i , j , k ) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.
Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi . Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky .
Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako
∑ i , j , k = 1 3 ε i j k a 1 i a 2 j a 3 k {\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}} (a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)
a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:
a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ i , j , k = 1 3 ε i j k e i a j b k {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}} nebo jednodušeji:
a × b = c , c i = ∑ j , k = 1 3 ε i j k a j b k {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence .
Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:
ε i j k ℓ … = { + 1 je-li ( i , j , k , ℓ , … ) suda permutace ( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) − 1 je-li ( i , j , k , ℓ , … ) licha permutace ( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) 0 jsou-li si 2 indexy rovny {\displaystyle \varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ suda permutace}}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ licha permutace }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{jsou-li si 2 indexy rovny}}\end{matrix}}\right.} Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.
Tenzor , jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor . Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor , protože mění znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.
Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta . Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:
ε i j k ε l m n = δ i l δ j m δ k n + δ i m δ j n δ k l + δ i n δ j l δ k m − δ i l δ j n δ k m − δ i n δ j m δ k l − δ i m δ j l δ k n {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}} ∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} ∑ i , j = 1 3 ε i j k ε i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}} Navíc zřejmě platí, že
∑ i , j , k , ⋯ = 1 n ε i j k … 2 = n ! {\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }^{2}=n!} vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).
Příklady 1. Determinant n × n {\displaystyle n\times n} A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})}
det A = ε i 1 ⋯ i n a 1 i 1 ⋯ a n i n , {\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},} kde každé i l {\displaystyle i_{l}} 1 , … , n . {\displaystyle 1,\ldots ,n.}
Ekvivalentně můžeme napsat
det A = 1 n ! ε i 1 ⋯ i n ε j 1 ⋯ j n a i 1 j 1 ⋯ a i n j n , {\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},} kde nyní každé i l {\displaystyle i_{l}} j l {\displaystyle j_{l}} 1 , … , n {\displaystyle 1,\ldots ,n}
2. Jestliže A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})} B = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle B=(B^{1},B^{2},B^{3})} R 3 {\displaystyle R^{3}} i {\displaystyle i}
( A × B ) i = ε i j k A j B k . {\displaystyle (A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.} například první komponenta A × B {\displaystyle A\times B} A 2 B 3 − A 3 B 2 {\displaystyle A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2}} A × B = − B × A {\displaystyle A\times B=-B\times A} C = ( C 1 , C 2 , C 3 ) {\displaystyle C=(C^{1},C^{2},C^{3})} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
A ⋅ ( B × C ) = ε i j k A i B j C k . {\displaystyle A\cdot (B\times C)=\varepsilon ^{ijk}A^{i}B^{j}C^{k}.} Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například A ⋅ ( B × C ) = − B ⋅ ( A × C ) {\displaystyle A\cdot (B\times C)=-B\cdot (A\times C)}
3. Předpokládejme, že F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle F=(F^{1},F^{2},F^{3})} vektorové pole definované na nějaké otevřené množině R 3 {\displaystyle R^{3}} x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle x=(x^{1},x^{2},x^{3})} i {\displaystyle i} F {\displaystyle F}
( ∇ × F ) i ( x ) = ε i j k ∂ ∂ x j F k ( x ) . {\displaystyle (\nabla \times F)^{i}(x)=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(x).} Související články 