Lieova algebra

Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.

Definice

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor nad tělesem spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru

,

které pro všechna splňuje vlastnosti:

  • Alternativita,
.
  • Jacobiho identita,
.

Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.

Uvažujme libovolné dva prvky . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
,
z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
,
z čehož plyne , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.

Příklady

  • Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou:
  • Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem:
  • matice s nulovou stopou a komutátorem
  • antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
  • antihermitovské matice spolu s komutátorem
  • funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
  • vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
  • Tečný prostor Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou , kde je derivace zobrazení v . Této Lieovy algebře se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je pouze tečný prostor G a obyčejný komutátor matic.

Související články